Avis de recherche du n°193

Rappelons l’avis de recherche du numéro 193 de juillet 2022 :

$ABCD$ est un rectangle. Le point $E$ est sur $[AB]$. $F$ est le point d’intersection de $[CE]$ et $[BD]$.

On définit ainsi cinq surfaces.

Si on note $x$ l’aire du triangle $BEF$, alors les aires des triangles $DEF$ et $CDF$ sont respectivement $x^3$ et $x^5$.

Par ailleurs, l’aire du triangle $ADE$ est 30.

Déterminer $x$, ainsi que l’aire du rectangle.

Question ouverte : les dimensions du rectangle sont-elles uniques ?

Voici une solution à cet avis.

Les triangles $CDE$ et $BCD$ ont même base $CD$ et même hauteur $BC$ donc même aire, donc l’aire du triangle $BCF$ est $x^3$.

Les triangles $ABD$ et $BCD$ ont aussi même aire donc $30 + x + x^3$ = $x^5 + x^3$
donc $x^5 – x$ = $30$.

$x$ = $2$ est une solution. Cherchons s’il en existe d’autres.

On a donc $x^5 – x$ = $2^5 – 2$ donc $x^5 – 2^5$ = $x – 2$.
Or, pour tout couple ($a$ ; $b$) de réels, $a^5 – b^5$ = $(a – b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$
Donc ici $x^5 – 2^5$ = $(x – 2)(x^4 +2x^3 + 4x^2 + 8x + 16)$ = $x – 2$
donc $x = 2$ ou $x^4 +2x^3 + 4x^2 + 8x + 15$ = $0$.
Tous les coefficients étant positifs, cette équation n’a pas de solution positive car $x$ étant une aire, $x$ doit être positive.
Ainsi $x$ = 2 et l’aire du rectangle est $30 + 2^3 + 2 + 2^5 + 2^3$ = 80.

Nouvel avis de recherche

Un peu de calcul « sommatoire » pour ouvrir cette nouvelle saison :

Pour cet avis de recherche, ainsi que des compléments sur des avis précédents, écrivez-nous à l’adresse des problèmes des Chantiers.