par Alain Bougeard, Michel Suquet, Serge Seguin
Avis de recherche du n°195
Rappelons l’avis de recherche du numéro 195 de janvier 2023 :
Soit $a$ et $b$ deux entiers.
a) Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
$(P_1)$ : $a \equiv 1 \pmod 2$ et $b\equiv a \pmod 3$
$(P_2)$ : $a+2b \equiv 3 \pmod 6$
b) Soit $n$ et $p$ deux entiers strictement supérieurs à 1 et premiers entre eux. Soit $c$ un entier. Montrer qu’il existe trois entiers relatifs $u$, $v$ et $w$ tels que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
$(P_1)$ : $a \equiv c \pmod n$ et $b\equiv a \pmod p$
$(P_2)$ : $ua+vb \equiv w \pmod {n \times p}$
c) Problème ouvert : Qu’en est-il lorsque $n$ et $p$ ne sont pas premiers entre eux ?
Voici une solution :
a) Montrons l’implication $(P_1) \Rightarrow (P_2)$.
Il existe donc deux entiers $k$ et $h$ tels que $a$ = $1+2k$ et $b$ = $a+3h$.
Donc $b$ = $1+2k+3h$.
On a alors $a+2b$ = $1+2k+2(1+2k+3h$ = $3+6h+6k$ = $3+6(k+h)$.
Donc on a bien $a+2b \equiv 3 \pmod 6$.
Montrons maintenant l’implication $(P_2) \Rightarrow (P_1)$.
Il existe donc un entier $t$ tel que $a+2b$ = $3+6t$, donc $a$ = $1+2(1+3t-b)$ donc $a \equiv 1 \pmod 2$.
De plus, $a-b$ = $(a+2b)-3b$ = $3+6t-3b$ = $3(1+2t-b)$ donc on a $a-b\equiv 0 \pmod 3$, donc $b\equiv a \pmod 3$.
b) Reprenons la démonstration précédente dans le cas général.
Étudions tout d’abord l’implication $(P_1) \Rightarrow (P_2)$.
Il existe donc deux entiers $k$ et $h$ tels que $a$ = $c+kn$ et $b$ = $a+hp$.
Donc $b$ = $c+kn+hp$.
On cherche donc $u$, $v$ et $w$ tels que $ua+vb$ s’écrive $w+t \times n \times p$, avec $t$ entier.
Or $ua+vb$ = $u(c+kn)+v(a+hp)$ = $uc+kun+vc+kvn+hvp$ = $(u+v)c+kn(u+v)+hvp$.
Choisissons $u$ et $v$ tels que $kn(u+v)$ et $hvp$ soient des multiples de $n \times p$.
Par exemple, prenons $v$ = $n$ et $u+v$ = $p$. On a alors $u$ = $p-n$.
Donc $ua+vb$ = $pc+knp+hnp$ = $pc+(k+h)np$. On a alors $ua+vb \equiv w \pmod {n \times p}$.
Et, en prenant $w$ = $p \times c$, on a donc $ua+vb \equiv w \pmod {n \times p}$.
Remarque : L’exemple précédent correspond à $n$ = 2, $p$ = 3 et $c$ = 1.
En effet, on a alors $(2-1)a + 2b \equiv 3 \times 1 \pmod {2 \times 3}$
on retrouve $a+2b \equiv 3 \pmod 6$.
Montrons maintenant l’implication $(P_2) \Rightarrow (P_1)$.
Il existe donc un entier $t$ tel que $(p-n)a+nb$ = $pc+npt$, donc $pa-na+nb$ = $pc+npt$,
donc $p(a-c)$ = $na-nb+npt$, donc $(1)$ : $p(a-c)$ = $n(a-b+pt)$. Donc $n$ divise $p(a-c)$.
Or $n$ et $p$ sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Gauss, $n$ divise $a-c$.
Donc $a \equiv c \pmod n$.
Il existe donc un entier $t’$ tel que $a-c$ = $t’n$.
En remplaçant dans l’égalité $(1)$, on a : $pt’n$ = $n(a-b+pt)$,
donc (car $n$ est non nul), $pt’$ = $a-b+pt$, donc $b-a$ = $p(t-t’)$
donc enfin $b-a \equiv 0 \pmod p$, i.e. $b\equiv a \pmod p$.
Reste à examiner le problème ouvert que je laisse à votre sagacité !
2 nouveaux avis de recherche
Nous vous proposons dans ce numéro des Chantiers 2 avis de recherche qui vous donneront l’occasion d’utiliser des outils simples de la géométrie et de l’algèbre.
Avis n°1
Il s’agit d’observer la figure suivante et de donner la valeur exacte de la longueur du segment repéré par un point d’interrogation.
Avis n°2
À l’aide de la règle et du compas, trouver comment partager un disque en $n$ parts ($n$ étant un entier plus grand que 1) de même aire. Est-il possible de faire en sorte que les parts aient aussi le même périmètre ?
Pour ces avis de recherche, ainsi que des compléments sur des avis précédents, écrivez-nous à l’adresse des problèmes des Chantiers.
La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS