Solution de l’avis n°2

Soit $c$ l’aire de la partie qui avec $a$ complète le demi-disque de diamètre 20 et donc de rayon 10.

On a les égalités suivantes, en calculant les aires du demi-disque et du triangle DEF rectangle en E :
$a$ + $c$ = $50 \pi$
$b$ + $c$ = $10 EF$.

Or, $a$ = $ b + 47$ donc $a$ + $c$ = $ b + c + 47$,

ce qui donne $50 \pi$ = $10 EF + 47$

d’où $EF$ = $5\pi - \text{4,7} \approx 11$.

Solution de l’avis n°3

Repérons certaines parties de la figure comme indiqué sur la figure ci-dessous.

On a donc $\mathscr{A}_{bleu}$ = 1 et $\mathscr{A}_{vert}$ = 2 + 3 + 4.

On peut remarquer que les triangles $ABE$ et $FBC$ ont une aire égale à la moitié de l’aire du rectangle $ABCD$ et donc aussi le complémentaire de $FBC$ dans ce rectangle ; complémentaire qui est constitué des parties $\rlap{\,x}\bigcirc$, 2, 3, $\rlap{\,y}\bigcirc$ et 4.

On en déduit que $\rlap{\,x}\bigcirc$ + 1 + $\rlap{\,y}\bigcirc$= $\rlap{\,x}\bigcirc$+ 2 + 3 + $\rlap{\,y}\bigcirc$ + 4

ce qui donne 1 = 2 + 3 + 4.

En conclusion $\mathscr{A}_{bleu}$ = $\mathscr{A}_{vert}$.

Solution de l’avis n°4

Soit $r$ le rayon du grand disque, $r_1$ celui du petit disque qui est en haut et $r_2$ le rayon du disque moyen qui est en bas. On a donc $r$ = $r_1 + r_2$.

L’aire coloriée en bleu $\mathscr{A}_{bleu}$ est donc la différence entre l’aire du grand disque et la somme des aires des deux autres disques :
$\mathscr{A}_{bleu}$ = $\pi r^2 - (\pi r_1^2 + \pi r_2^2)$ = $\pi (r_1 + r_2)^2 - (\pi r_1^2 + \pi r_2^2)$.

En développant cette expression, on obtient $\mathscr{A}_{bleu}$ = $2 \pi r_1 r_2$.

 
Utilisons le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles $AQC$ et $BQC$ (voir la figure ci-contre) :

$CQ^2 + 4r_1^2$ = $AQ^2$ et $CQ^2 + 4r_2^2$ = $BQ^2$

sommons : $2CQ^2 + 4(r_1^2 + r_2^2)$ = $AQ^2 + BQ^2$.

Et dans le triangle rectangle $ABQ$, on a : $AQ^2 + BQ^2$ = $4(r_1 + r_2)^2$

ce qui donne $2CQ^2 + 4(r_1^2 + r_2^2)$ = $4(r_1 + r_2)^2$

en développant, on obtient $CQ^2$ = $4r_1r_2$.

Or, $CQ$ = $3$ puisque $C$ est le milieu de $[PQ]$ donc $9$ = $4r_1r_2$.

On en déduit que $\mathscr{A}_{bleu}$ = $\dfrac{9\pi}{2} \approx \text{14,1}$.

Solution de l’avis n°5

Complétons la figure de cet avis de recherche comme indiqué ci-contre.

Nous avons un certain nombre de triangles rectangles et le théorème de Pythagore nous permet d’obtenir les égalités suivantes :

• avec le triangle $AIF$ rectangle en $I$ :
  $a^2 + (b+x)^2$ = $5^2$
• avec le triangle $ABC$ rectangle en $B$ :
  $b^2 + (a+x)^2$ = $4^2$
• avec le triangle $AEG$ rectangle en $E$ :
  $a^2 + b^2$ = $2^2$

En développant la première égalité, et en tenant compte de la troisième, on obtient :
$4 + x^2 + 2bx$ = $25$
donc, $x$ ne pouvant être nul, $b$ = $\dfrac{21 - x^2}{2x}$.

De même avec la deuxième égalité : $4 + x^2 + 2ax$ = $16$ et donc $a$ = $\dfrac{12 - x^2}{2x}$.

La troisième égalité permet ainsi d’écrire une égalité où n’intervient plus que la variable $x$ :
$\left(\dfrac{12 - x^2}{2x}\right)^2 + \left(\dfrac{21 - x^2}{2x}\right)^2$ = $4$
ou encore : $(12 - x^2)^2 + (21 - x^2)^2$ = $4 \times 4x^2$.

Le mieux est de poser $y$ = $x^2$ pour obtenir une équation du 2nd degré :
$(12 - y)^2 + (21 - y)^2$ = $16y$

Développons : $2y^2 - 82y + 585$ = $0$.

Ce qui donne 2 solutions $y_1$ = $\dfrac{41 + \sqrt{511}}{2}$ et $y_2$ = $\dfrac{41 - \sqrt{511}}{2}$.

On a $y_1 \approx \text{31,8}$ et $y_2 \approx \text{9,2}$.

Or, $a$ = $\dfrac{12 - x^2}{2x} \geqslant 0$ donc $y$ = $x^2 \leqslant 12$ ce qui permet d’éliminer la solution $y_1$ [1].

Ainsi, $x^2$ = $\dfrac{41 - \sqrt{511}}{2}$ donc $x$ = $\sqrt{\dfrac{41 - \sqrt{511}}{2}} \approx \text{3,03}$.

On demandait l’aire du carré qui est $x^2$, c’est-à-dire $\dfrac{41 - \sqrt{511}}{2} \approx \text{9,2}$.

Solution de l’avis n°6

Puisque leur somme est égale à 90°, les angles $\widehat{A}$ et $\widehat{B}$ sont complémentaires, on en déduit que les triangles $ABE$ et $DEC$ sont rectangles en $E$.

Utilisons le théorème de Pythagore pour ces deux triangles rectangles. Ce qui donne :
$20^2$ = $a^2 + (a+b+c)^2$ et $10^2$ = $b^2 + c^2$.

En développant, on obtient :
$400$ = $2a^2 + 100 + 2(ab + ac + bc)$ donc $a^2 +ab + ac + bc$ = $150$.

Par ailleurs, $\mathscr{A}(ADCB)$ = $\mathscr{A}(ABE) + \mathscr{A}(DEC)$

donc $\mathscr{A}(ADCB)$ = $\dfrac{a(a+b+c)}{2} + \dfrac{bc}{2}$ = $\dfrac{a^2+ab+ac+bc}{2}$

avec le résultat ci-dessus, on a donc $\mathscr{A}(ADCB)$ = $75$.