Avis de recherche du n°199

Nous vous avions proposé un problème très algébrique en apparence :

Solution de cet avis de recherche

Notre collègue Serge Segor nous a fait parvenir une solution de résolution de ce système en utilisant un changement de variables et les fonctions trigonométriques.

Soit $a > b > 0$ et on considère le système :
$\left\{\begin{array}{ccc} (x+y)^2(xy-a) + xy^2z &=& 0 \\ (y+z)^2(yz-b) + x^2yz &=& 0 \\ x^2-y^2+z^2 &=& 0 \end{array} \right.$

Soit $S$ l’ensemble des solutions et $(x,y,z)$ une solution, alors $x$yz est non nul. De plus le système est invariant par symétrie centrale de centre $O$ donc on peut supposer $y > 0$ .

À partir de la troisième équation, on peut en déduire qu’il existe un réel $t \in [-\pi,\pi]$ tel que :
$\left\{\begin{array}{ccc} x &=& y \times \cos t \\ z &=& y \times \sin t \end{array} \right.$

d’où :
$\left\{\begin{array}{ccc} (y \cos t+y)^2(y^2 \cos t-a) + y^4 \cos t \sin t &=& 0 \\ (y+y \sin t)^2(y^2\sin t-b) + y^4 \cos^2 t \sin t &=& 0 \end{array} \right.$

Ce qui permet d’obtenir :
$\left\{\begin{array}{ccc} \left( \cos t - \dfrac{a}{y^2} \right) + \dfrac{\cos t \sin t}{(\cos t + 1)^2}&=& 0 \\ \left( \sin t - \dfrac{b}{y^2} \right) + \dfrac{\cos^2 t \sin t}{(1 + \sin t)^2} &=& 0 \end{array} \right.$

Cela permet de trouver $y$ en fonction de $t$ car $y > 0$. Voici la condition sur $t$ :
$\dfrac{1}{a} \cos t + \dfrac{1}{a} \dfrac{\cos t \sin t}{(\cos t + 1)^2}$ = $\dfrac{1}{b} \sin t + \dfrac{1}{b} \dfrac{\cos^2 t \sin t}{(1 + \sin t)^2}$

On multiplie tout par $a$ et on pose $d$ = $\dfrac{a}{b}$ puis on divise par $\cos t \sin t$ :
$\dfrac{1}{\sin t} + \dfrac{1}{(\cos t + 1)^2}$ = $d \dfrac{1}{\cos t} + d \dfrac{\cos t}{(1 + \sin t)^2}$

et pour quelques calculs de plus, $\dfrac{1}{\sin t} + \dfrac{1}{(\cos t + 1)^2}$ = $2d \dfrac{1}{\cos t (1 + \sin t)}$

On doit donc résoudre dans $[-\pi,\pi]$ l’équation :
$\cos {t } \left( 1+ \sin {t } \right) \left( \dfrac{1}{\sin {t}} + \dfrac{1} {{\left( \cos {t} + 1 \right)} ^ {2}} \right) $ = $2d$

$a$ = $128$ et $b$ = $81$ donc $2d$ = $\left( \dfrac{4}{3} \right)^4$, ce qui donne l’équation :
$\cos {t } \left( 1+ \sin {t } \right) \left( \dfrac{1}{\sin {t}} + \dfrac{1} {{\left( \cos {t} + 1 \right)} ^ {2}} \right) $ = $\left( \dfrac{4}{3} \right)^4$

Notre collègue nous réserve la suite de sa solution pour le prochain numéro des Chantiers : cela vous laisse amplement le temps de proposer vos propres recherches pour terminer cette solution ou d’aborder la résolution du système d’une autre manière.

Avis de recherche du n°196

Revenons encore une fois sur le partage en parts de même aire dont nous avions donné une première solution dans le n°197 des Chantiers et un autre type de découpage dans le n°199.

Explorons maintenant des méthodes mixtes qui utilisent à la fois des partages à l’aide de disques et des partages classiques à l’aide de polygones réguliers.

Prenons par exemple un partage en 7 parts de même aire et commençons par un disque dont l’aire est le septième de l’aire totale : on avait vu, dans le n°199 des Chantiers, comment réaliser cette construction « à la règle et au compas » :

Reste à partager en 6 parts de même aire la couronne : il suffit de tracer 6 rayons dont la construction est élémentaire. On obtient un partage en 7 parts de même aire :

Alors que le partage en 7 parts concentriques donnait des parts difficilement « mangeables », avec cette méthode mixte, les parts obtenues ne posent aucun problème de ce côté.

Cette méthode « mixte » peut être mise en œuvre pour toute valeur $n$ à partir de 3.

Nous vous laissons le plaisir d’explorer d’autres valeurs de $n$. Et si l’envie vous prend de concevoir d’autres styles de partages (en tranches, est-ce possible à la règle et au compas ?), nous serons enchantés de publier vos trouvailles (à l’aide de pliages, pourquoi pas ?) dans un prochain numéro des Chantiers.

Nouvel avis de recherche ?

Pas d’avis pour ce numéro, faute d’inspiration. Nous faisons appel à vous pour nous proposer un problème pour la prochaine fois.

Si vous avez des problèmes à soumettre à la sagacité de nos lecteurs et lectrices, ainsi que des compléments sur des avis précédents, écrivez-nous à l’adresse des problèmes des Chantiers.