par Alain Bougeard, Michel Suquet
Avis de recherche du n°199
Nous vous avions proposé un problème très algébrique en apparence :
- Sauriez-vous résoudre le système suivant, système de 3 équations à 3 inconnues ?
$\left\{\begin{array}{ccc} (x+y)^2(xy-128) + xy^2z &=& 0 \\ (y+z)^2(yz-81) + x^2yz &=& 0 \\ x^2-y^2+z^2 &=& 0 \end{array} \right.$
- À quoi peut bien servir cette résolution ?
Suite de la solution de cet avis de recherche
Notre collègue Serge Segor avait donné le début de sa solution en faisant intervenir un paramètre $t$ et il était question de résoudre dans $[-\pi,\pi]$ l’équation :
$\cos {t } \left( 1+ \sin {t } \right) \left( \dfrac{1}{\sin {t}} + \dfrac{1} {{\left( \cos {t} + 1 \right)} ^ {2}} \right) $ = $\left( \dfrac{4}{3} \right)^4$
Notre collègue nous avait réservé la suite de sa solution pour ce numéro des Chantiers mais comme elle n’est pas encore bien ajustée, on vous la prépare pour la rentrée. Vous avez donc du temps pour peaufiner votre solution et nous la proposer.
Nouvel avis de recherche
Un peu de géométrie pour les vacances que l’on vous souhaite reposantes et agréables. Sortez et astiquez vos compas et règles, graduées ou tellement usées qu’il n’y a plus les graduations ; et espérons que votre compas ne s’est pas rouillé, ce qui ajoutera une situation à explorer…
Un cercle est donné : il est assez simple de construire un triangle équilatéral inscrit, à l’aide du compas et de la règle ; la méthode de la rosace chère au cœur des écoliers saura vous guider.
Mais cette construction est-elle possible à l’aide de la règle seule ?
Question subsidiaire : la construction est possible à l’aide de la règle à bords parallèles (ce qui est le cas des règles vendues dans le commerce : leurs deux bords sont parallèles), saurez-vous la trouver ?
NB : on pourra explorer les situations selon que le centre du cercle est donné ou pas.
Si vous avez des problèmes à soumettre à la sagacité de nos lecteurs et lectrices, ainsi que des compléments sur des avis précédents, écrivez-nous à l’adresse des problèmes des Chantiers.
La Régionale de l’Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS