« La somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180° » : un théorème de la géométrie euclidienne qui est étudié en classe de 5^e et dont certaines démonstrations peuvent parfois être perçues comme « artificielles » par les débutants (voir Clairaut et la problématisation de la géométrie en réaction à son enseignement par les Éléments d’Euclide au XVII^e—XXVIII^e [1]).

Je vous propose ici une activité assez simple pour aborder cette propriété des triangles avec les élèves : l’idée est d’exploiter un pavage avec des triangles tous égaux, superposables autrement dit.

On distribue aux élèves une feuille (une pour deux élèves qui vont donc travailler en binôme) sur laquelle on a imprimé un certain nombre de triangles égaux.

On demande aux élèves qui travaillent par groupe de deux, de découper les triangles, le plus proprement possible, puis de colorier les angles égaux d’une même couleur ; avec les élèves, on vérifie au préalable que 3 couleurs seront suffisantes, par exemple bleu, rouge et vert.

Ensuite, les élèves devront réaliser un pavage avec ces triangles, toujours par le même groupe de deux élèves ; là aussi, il sera sans doute nécessaire, comme pour les 3 couleurs suffisantes, de s’assurer que tout le monde comprend ce que signifie « réaliser un pavage ».

Voici ce que les élèves peuvent obtenir :

On demande alors aux élèves de coller ce pavage sur un des cahiers et, en attendant que tout le monde ait terminé ce travail préliminaire, d’observer la figure obtenue et de noter sur leur cahier les différentes observations faites.

Il est temps alors de réunir ces différentes observations pour en tirer un certain nombre de conséquences.

Notamment, autour de chaque sommet du pavage, les élèves peuvent observer qu’on a les 3 couleurs deux fois chacune et donc leur somme est un angle de 360° : il en résulte que la somme des angles correspondant à ces 3 couleurs est égale à 180°, ce qui permet d’obtenir le théorème.

Cependant, on pourrait s’interroger quant à cette observation, « la somme des 6 angles autour d’un sommet du pavage est-elle vraiment égale à 360° ? » : n’y aurait-il pas des « espaces » imperceptibles entre les angles colorés ?

Pour s’assurer de cela, on peut considérer d’autres observations [2] telles que :

• 2 triangles qui ont un côté commun sont symétriques par rapport au milieu de ce côté commun ;
• 2 angles d’une même couleur sont des angles alternes-internes si on prend 2 triangles qui ont un côté commun ;
• les droites passant par des sommets consécutifs forment des parallèles aux côtés de chaque triangle.

La 3^e observation peut se déduire de l’une ou de l’autre des deux premières observations, en fonction de la progression adoptée. C’est l’occasion de revenir sur des notions travaillées précédemment et mettre en œuvre une démonstration pour confirmer les observations et lever les éventuels doutes.

Enfin, on pourra demander aux élèves à quoi peut bien servir un tel théorème : certains élèves se posent naturellement cette question mais susciter ce genre d’interrogation permet aux élèves en difficulté de mieux se projeter vers la suite du cours…