Des témoignages archéologiques

Au cours de l’histoire, différents systèmes de numération se sont développés en même temps que les civilisations. Cette évolution s’est accompagnée de la création d’outils notamment d’instruments de calculs. Peu de traces de ces instruments ont été trouvées dans la littérature mathématique, cependant des témoignages archéologiques ont été découverts un peu partout dans le monde prouvant l’existence et l’utilisation de ces instruments tant dans le monde du savoir que dans le monde commercial.

Par la suite se sont développés des outils à partir de matériaux naturels comme le bois, les cailloux, la corde, les graines, les coquillages… Ils étaient surtout utilisés dans la vie quotidienne pour dénombrer des animaux ou encore tenir des comptes. Ils ont une grande importance dans l’évolution des instruments de calculs en étant à l’origine de l’abaque, du calcul à jeton et du boulier. En effet dès le 4^e siècle avant J-C, l’abaque, le calcul à jetons et le boulier apparurent et se développèrent.

Dans la famille des abaques, il y a deux catégories : les abaques à jetons et les abaques à boules plus communément appelés les bouliers.

Pour avoir plus d’informations sur ces outils de calculs, vous pouvez lire l’article très complet de Dominique Tournés dans la revue Mathématice.

Les abaques à jetons

Grâce aux fouilles archéologiques, des morceaux d’abaques à jetons ont été retrouvés un peu partout dans le monde grec, le plus souvent aux abords des monuments où se déroulaient les activités commerciales, le plus ancien étant celui découvert sur l’île de Salamine, non loin d’Athènes, datant du 5^e ou 4^e siècle avant J-C. Pour utiliser ces abaques, les personnes utilisaient souvent des cailloux ce qui a donné le mot « calcul », en effet calculus signifie caillou en latin.

L’inconvénient de l’abaque c’est qu’il n’est pas transportable : il faut soit le refaire à chaque endroit où l’on va, soit s’arrêter à des endroits où un abaque est disponible. Pour palier cela, l’abaque a évolué, comme en témoigne un abaque romain portatif retrouvé. Il date de la fin du 1^er siècle de notre ère. Il est constitué de rainures divisées en deux parties avec dans la partie du bas 4 jetons de glissés et dans la partie du haut 1 seul jeton.

Dans cet abaque, il n’est plus possible de mettre une infinité de jetons. Ainsi il se pourrait que cet abaque soit « à l’origine des bouliers russes et persans, puis asiatiques, puis chinois et japonais » (Schärlig, 2001).

Les bouliers

Les bouliers se sont développés dans diverses zones géographiques : Russie, Perse, Chine, Corée, Japon.

Le boulier chinois tire son origine des baguettes à calculer qui datent du 2^e siècle avant notre ère. Ces baguettes étaient disposées sur une surface appelée suanpan partagée en cases correspondant aux puissances de 10. Ce procédé repose sur le même principe que les abaques à jetons décrit précédemment.

Le manque de praticité des baguettes dû à la trop grande place utilisée a poussé le monde marchand à faire évoluer ses instruments de calcul entre le 10^e et 14^e siècle, pour arriver au boulier chinois sous sa forme actuelle. Il en a d’ailleurs conservé le nom qui est suanpan. Ce boulier a été préféré par les chinois car il était adapté au calcul des poids dont les unités se déclinaient en base 16. En effet sur un boulier chinois, on peut écrire jusqu’au nombre 15 sur la tige des unités. Cela implique donc qu’en base 10, un nombre a plusieurs écritures sur ce boulier.

Les japonais ont développé une forme épurée de ce boulier en enlevant une boule en haut et en bas sur chaque tige. Ainsi sur le boulier japonais, appelé aussi le soroban, un nombre a une unique écriture.

Ces bouliers sont utilisés dès le 15^e siècle comme en attestent les traités de calcul dans lesquels ils apparaissent, jusqu’à nos jours. Leur facile maniabilité fait qu’ils sont très utilisés chez les commerçants et aussi dans le monde scolaire puisqu’ils sont encore enseignés et utilisés dans les classes même s’ils sont sur le déclin avec l’arrivée de la calculatrice depuis les années 1980.

Tous ces outils ont accompagné l’émergence des techniques de calcul et plus largement d’une théorie mathématique des nombres. L’évolution des instruments de calculs pour atteindre le calcul écrit a été longue et jonchée de difficultés comme lorsque le calcul écrit et le calcul à jetons coexistaient. Cette coexistence marquait une querelle dans la société entre les abacistes (partisans de l’abaque à jetons) et les algoristes (partisans du calcul écrit). C’est cette évolution et ces conflits qui ont permis l’émergence de la théorie des nombres et l’envol des mathématiques savantes avec les calculs écrits.

Le boulier, en plus d’être un instrument permettant de vérifier des calculs, est un support pour visualiser les algorithmes de calcul. Il est utilisable avant même la maîtrise de l’écriture contrairement au calcul posé. C’est en ce point qu’il me semble être un bon outil du point de vue didactique pour appréhender la notion de nombre à l’école maternelle, développer les algorithmes de calcul à l’école élémentaire, remédier aux difficultés des élèves sur ces points et consolider leurs connaissances au collège.

De plus, il est très intéressant de les utiliser dans nos séances en classe dans l’objectif que les élèves s’imprègnent de l’histoire des mathématiques qui a mené aux notions qu’on leur enseigne actuellement. L’institution nous engage d’ailleurs dans ce sens puisque dans les programmes de cycle 3 de 2018, il est écrit : « La mise en perspective historique de certaines connaissances (numération de position, apparition des nombres décimaux, du système métrique, etc.) contribue à enrichir la culture scientifique des élèves ».

séance 1

L’objectif mathématique de cette séance est de savoir utiliser les grands nombres entiers. Ceci est une révision puisque cette notion a déjà été travaillée plusieurs fois en école primaire, elle doit être consolidée en 6^e.

À la fin de la séance, tous les élèves doivent savoir reconnaître le rang des chiffres et le lien entre ces rangs ainsi que savoir décomposer un grand nombre. Ce travail se fera sous forme d’investigation, il se placera donc dans la catégorie des situations de recherche.

Pour caractériser une situation de recherche en classe, les auteurs proposent cinq critères (Poisard, 2006) :

• la situation s’inscrit dans une problématique de recherche professionnelle (c’est-à-dire proche de questions non résolues par les mathématiciens)
• la question initiale est facile d’accès (c’est-à-dire à comprendre)
• il existe des stratégies initiales (sans pré-requis spécifiques indispensables)
• plusieurs stratégies d’avancée sont possibles
• une question résolue renvoie très souvent à de nouvelles questions

Les études didactiques ont montré que dans ces situations, l’investissement des élèves était meilleur. Ainsi l’apprentissage visé avait de plus fortes chances d’être atteint par les élèves.

Je partirai des questions suivantes : Qu’est-ce que c’est ? (en montrant un boulier) À quoi ça sert ? Comment cela fonctionne-t-il ?

Suite à l’analyse de Caroline Poisard, on se rend compte que ces questions s’inscrivent bien dans une situation de recherche puisqu’elles sont faciles à comprendre, il n’y a pas besoin de pré-requis spécifique pour commencer l’investigation, plusieurs stratégies peuvent être trouvées rapidement et suite à ces questions d’autres vont se poser. Une consigne du type « Écrire 4 591 sur le boulier » n’induirait pas le même travail de la part des élèves.

Pour que ce travail reste bien dans ce domaine, le choix de l’artefact est très important. Les artefacts(objets créés par un être humain), notamment les physiques, peuvent être classifiés selon leur nature et leurs caractéristiques. Par exemple, on distingue (Michela Maschietto, 2016) :

• des artefacts construits avec des buts pédagogiques et didactiques précis
• des artefacts issus de l’histoire des mathématiques et reconstruits/adaptés pour l’école
• des artefacts issus d’autres cultures, utilisés dans des pays différents de ceux dans lesquels nous vivons/enseignons

Le boulier fait partie des deux dernières catégories. Il sera travaillé dans nos classes comme un outil issu de l’histoire permettant de travailler le système de numération et les opérations.

Il existe plusieurs types de bouliers, deux ont ma préférence : le boulier chinois (suanpan) et le boulier japonais (soroban).

Le suanpan est constitué de 5 unaires (billes valant un) et 2 quinaires (billes valant 5). Cela implique qu’un nombre aura plusieurs écritures sur ce boulier. De plus, lors de l’algorithme de l’addition ou de la soustraction, la notion de retenue sera visuelle et simplifiera la compréhension pour certains élèves éprouvant encore des difficultés.

Le soroban est lui une simplification du précédent et est constitué de 4 unaires et 1 quinaire. Par cette réduction de billes, l’écriture d’un nombre devient unique. Sur cet artefact, les opérations arithmétiques sont plus difficiles à appréhender ; cependant elles se font avec moins de manipulations.

Le choix est ici important puisqu’il va déterminer la bonne prise en main au début, les questionnements plus ou moins nombreux et la réalisation des opérations plus ou moins simple : mon choix se portera sur le suanpan pour commencer, pour ensuite passer au soroban qui amène un travail sur des notions à travailler en 6^e.

Ces bouliers peuvent être physiques ou virtuels. Pour le boulier virtuel, je m’appuierai sur le travail mené par la CII Épistémologie et histoire des mathématiques et les ressources créées dans ce cadre et hébergées par le site de l’association Sésamaths.

Par rapport aux contraintes de commande, les bouliers physiques ne seront pas disponibles en début d’année lorsque j’en aurai besoin. Ainsi mon choix va se tourner vers le boulier virtuel. Je dois alors avoir conscience que l’utilisation de ce boulier peut provoquer quelques déviations dans les apprentissages des élèves. En effet, les objets numériques comme les bases d’exercices en ligne ont donné lieu à de nombreux travaux de didactique. « Les recherches ont montré qu’il convenait d’être particulièrement attentif à la manière de les utiliser : en effet, les élèves peuvent détourner les réponses fournies par l’ordinateur pour mobiliser par exemple des procédures d’essai-erreur » (Gueudet, Bueno-Ravel, 2016). En didactique des mathématiques, ce que l’on nomme approche instrumentale permet d’étudier ces phénomènes.

Chaque élève venant avec ses connaissances, va utiliser l’artefact boulier d’une certaine manière, il va alors créer son propre instrument. C’est ce que l’on appelle la genèse instrumentale. Elle est tout autant présente avec des artefacts physiques. Ainsi en analysant finement des séances, en se focalisant sur cette construction de l’instrument, on pourra identifier les apprentissages réalisés par l’élève, les procédures utilisées et si cela coïncide avec les attentes du professeur.

Cette genèse instrumentale comprend un double mouvement (Gueudet, Bueno-Ravel, 2016) :

• d’une part, les potentialités et les contraintes de l’artefact vont influencer le sujet qui utilise cet artefact et peuvent structurer son activité. Il s’agit d’un processus d’instrumentation (processus dirigé vers le sujet)
• d’autre part, le sujet, avec ses connaissances, va s’approprier l’artefact, le mettre à sa main. Il peut également le transformer, en l’utilisant de façon non prévue. Il s’agit alors d’un processus d’instrumentalisation (processus dirigé vers l’artefact)

L’articulation entre les différents artefacts, mais aussi avec la version papier-crayon, va être très importante tout au long de cette séquence. Nous y reviendrons un peu plus tard.

À la fin de cette première séance, les élèves savent ce qu’est un boulier et savent s’en servir. Ils ont alors revu le principe positionnel et décimal de la numération.

séance 2

En se plaçant toujours dans une situation de recherche, la question de l’économie de geste est abordée. Le but est d’introduire le soroban qui est un boulier de la forme 4 + 1.

Cette question amènera alors la question de l’unicité de l’écriture d’un nombre dans un suanpan et dans un soroban. Cela permettra alors d’aborder les multiples écritures et décompositions d’un nombre entier.

En pratique les élèves auront des suanpan (1 par binôme) pour manipuler et répondre aux questions. Lorsque l’on voudra s’en servir comme d’un soroban, on bloquera une bille en haut et une bille en bas.

séance 3

L’objectif de cette séance est de revoir et consolider les algorithmes de l’addition et de la soustraction de nombres entiers. Depuis le début, ce projet s’appuie sur la triade : « manipuler, verbaliser, abstraire » tirée du rapport de C.Villani et C. Torossian. Ce trio prendra tout son sens ici.

Tout d’abord la manipulation est essentielle pour que l’apprentissage se fasse. « En effet, le support matériel incite à rentrer dans la question : déplacer les boules, regarder de quoi il est constitué… D’ailleurs, le premier réflexe lorsqu’on s’empare du boulier est souvent de bouger les boules pour faire du bruit (même pour un adulte), c’est la manière de rentrer dans la découverte » (Poisard, 2006). Elle va même donner envie à des élèves réfractaires de s’investir en mathématiques et d’y prendre du plaisir.

Cette manipulation est beaucoup moins présente en collège qu’en école primaire, c’est pour cela que je fais le choix de travailler ainsi sur ce projet. Le travail consistera ici à marquer le premier nombre sur le boulier puis à rajouter le second en activant les billes qu’il faut, ainsi on ne garde pas de calculs intermédiaires et on lit le résultat directement sur le boulier. Le suanpan sera donc préféré ici au soroban car il permet de visualiser la notion de retenue.

En effet pour l’addition, le passage de retenue se fait à la main, par exemple on marque 10 dizaines avec deux quinaires sur la deuxième tige et ensuite on les transforme en 1 centaine avec une unaire sur la 3^e tige.

Par exemple pour effectuer 785 + 163 on obtient :

La notion de numération décimale est bien ici présente dans l’algorithme de calcul. On va inscrire les nombres et faire les calculs en commençant par la gauche. Ceci permet donc d’obtenir un ordre de grandeur du résultat. Cette notion doit être travaillée en 6^e et les années d’après donc le boulier est encore là un outil pour cela.

Pour la soustraction, deux algorithmes différents existent sur papier-crayon. Le premier est celui qui est le plus utilisé dans l’enseignement, c’est celui par ajouts parallèles. Il n’est pas utilisable sur le boulier.

Celui utilisé dans le boulier est celui des échanges. Il s’appuie sur l’aspect décimal de notre système de numération. Ainsi par exemple si on n’a pas assez d’unité, on ira prendre 1 dizaine que l’on transformera en 10 unités. Sur le boulier, cela veut dire que l’on désactivera une unaire sur la tige des dizaines pour activer deux quinaires sur la tige des unités. Le boulier sera ici le support pour redonner tout son sens à la technique de la soustraction.

Dans tous les cas, les élèves ne doivent pas faire seulement de la manipulation. Il est très important pour le professeur d’arriver à faire faire le lien aux élèves entre manipuler, verbaliser et abstraire. Donc dès lors qu’ils auront bien manipulé, une institutionnalisation devra être mise en place par le professeur afin que les élèves puissent faire le lien entre les techniques instrumentées et les algorithmes sur papier-crayon.

Cette phase d’institutionnalisation est essentielle mais sans être des plus simple à mettre en place. Elle inclut ici des savoirs notionnels mais aussi des savoirs transversaux comme ceux présents lors des situations de recherche. C’est ces derniers qui ne sont pas les plus évidents à verbaliser. Ils sont pourtant très présents dans les programmes mais en second plan dans les pratiques des enseignants. C’est pour cela que tout le long de ce projet, des allers-retours seront fait entre l’artefact et le support papier-crayon, en s’aidant de la verbalisation orale.

séance 4

La curiosité de la manipulation est d’autant plus grande si l’instrument a été construit personnellement et que celui-ci est conservé et utilisé à nouveau.

La construction d’un boulier ne doit s’envisager que si l’outil est utilisé plusieurs fois de façon guidée ou autonome lors de séances d’activités au cours de l’année. Dans ce cas, « le temps de fabrication constitue un moment important de l’apprentissage où les enfants sont fortement valorisés par la réalisation d’une œuvre personnelle. De plus, ces objets matériels constituent une trace de ce qui a été appris. Ils permettent aux enfants de montrer aux parents le travail réalisé. Le cahier permet aussi de valoriser l’apprentissage, de le montrer. Mais un objet matériel, fait-main par l’enfant, que l’on peut garder plusieurs années, entreposé sur l’étagère de sa chambre possède un effet démonstrateur bien supérieur » (Poisard, 2006).

Une fabrication sera alors envisagée selon les contraintes de travail en classe.

suite du projet

Maintenant que chaque élève possède son propre boulier, il pourra alors être utilisé régulièrement dans la classe.

Dans le but de travailler l’appropriation des algorithmes de calcul mais aussi la connaissance des compléments à 5 et à 10 et leur utilisation, le boulier sera utilisé dans des rituels de calcul mental en début de séance. Sa manipulation deviendra alors de plus en plus simple et rapide.

Le suanpan sera d’abord privilégié pour son aspect plus simple dans les algorithmes de calcul comme on l’a vu dans la séance 3, puis ensuite l’initiation au soroban commencera. C’est avec cet artefact que les compléments à 5 et à 10 prendront tous leur sens et leur utilité. En effet, manquant de billes pour noter les nombres il faudra alors convertir certains chiffres en travaillant avec leur complément.

Par exemple, nous avons noté 13 sur le soroban, nous voulons ajouter 18. On commence par la gauche et on ajoute 1 à 1, ici il n’y a pas de soucis, il y a assez de billes. Puis nous voulons ajouter 8 à 3, or ce n’est pas directement possible, il faudra alors d’abord ajouter 10, autrement dit une unaire, aux dizaines et ensuite retirer 2 aux unités car 8 = 10 – 2 .

Ce travail s’inscrira dans un temps long, temps nécessaire à l’appropriation de cet instrument par chacun et à la fixation des apprentissages. Cette notion est présente dans les attendus de fin d’année de CM2 et retravaillée en 6^e pour être consolidée. Le calcul mental est lui aussi dans les préconisations institutionnelles actuelles.

Le boulier sera aussi utilisé pour travailler l’algorithme de la multiplication. Il a l’avantage d’enlever le besoin de penser aux retenues puisque les additions successives se font au fur et à mesure sur le boulier. Par exemple si j’effectue 37 × 5, je vais d’abord marquer 5 × 7 sur mon boulier puis je vais rajouter le résultat de 5 × 30. Cependant il est toujours essentiel de connaître ses tables de multiplication.

Jusqu’à maintenant nous avons travaillé sur les nombres entiers, le boulier est-il alors utilisable avec des nombres non-entiers ? Effectivement, sur les bouliers aucune indication sur le rang n’est notée directement sur la tige, ainsi c’est l’utilisateur qui fixe si sa tige tout à droite est celle des unités (utilisation faite avec les nombres entiers) ou bien celle des dixièmes ou bien celle des centièmes ou encore celle des millièmes. Ainsi un large panel de possibilités s’ouvre lorsque l’on fixe un autre rang sur cette tige. Les algorithmes fonctionnent ensuite de la même façon.

Par ces manipulations régulières, je souhaiterais que le boulier devienne un instrument de calcul au même titre que la calculatrice. Il peut être un support plus rapide que la calculatrice pour vérifier des calculs. Son utilisation deviendrait alors automatique et machinale, ainsi on pourrait le qualifier de machine.