Un petit grain de sable pour une grande catastrophe

Comme on l’a déjà vu dans un précédent article, les suites récurrentes sont le terreau classique pour produire des bizarreries avec des calculateurs numériques.

Voici un exemple, décliné sous la forme d’un exercice du niveau de terminale S. Son originalité est que des définitions équivalentes de la même suite ne donnent pas les mêmes valeurs avec un tableur (ou une calculatrice). L’explication de cette surprenante bizarrerie donne ainsi un support motivant pour faire des mathématiques. Les connaissances mobilisées sont du niveau d’un lycéen scientifique, mais la démarche inhabituelle lui donnera un petit aperçu de ce qui l’attend après le bac.

N.B. La démonstration par récurrence est une récurrence forte. C’est une occasion d’en parler aux élèves bien que cela ne soit pas un objectif du programme.

Soit la suite $(u_n)$ définie par $\begin{cases} u_0 = 1, u_1 = k \\ u_{n+2} = u_{n+1} + u_n \end{cases}$ avec $k = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$

1. Démontrer que $k^2 = k + 1$, puis démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$, $u_n = k^n$.
   De quelle nature est la suite $(u_n)$ ? Quelle est sa limite ?
2. La suite $(u_n)$ peut donc se définir de 2 manières différentes :
   1^e manière : $\begin{cases} u_0 = 1, u_1 = k \\ u_{n+2} = u_{n+1} + u_n \end{cases}$ 2^e manière : $\begin{cases} u_0 = 1 \\ u_{n+1} = k \times u_n \end{cases}$
   À l’aide d’un tableur, générer les 100 premières valeurs de la suite en utilisant la 1^re définition, puis générer à nouveau les 100 premières valeurs de la suite mais en utilisant la 2^e définition.
   Comparer termes à termes les 2 suites obtenues. Qu’observe-t-on ?
3. Explication : On pose $k’ = k + \varepsilon$
   a) Soit la suite $(v_n)$ définie par $\begin{cases} v_0 = 1 \\ v_{n+1} = k’ \times v_n \end{cases}$
   Pour quelles valeurs de $\varepsilon$ la suite $(v_n)$ est-elle convergente ?
   b) Soit la suite $(w_n)$ définie par : $\begin{cases} w_0 = 1, w_1 = k’ \\ w_{n+2} = w_{n+1} + w_n \end{cases}$
   Démontrer que, pour tout $n$ entier : $w_n = \left( 1 - \dfrac{\varepsilon}{\sqrt{5}} \right) \left( \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \right) ^n + \dfrac{\varepsilon}{\sqrt{5}}\left( \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) ^n$
   En déduire que la suite $(w_n)$ est convergente lorsque $\varepsilon = 0$, mais divergente dès que $\varepsilon \neq 0$.
   c) Donner une explication au phénomène observé à la 2^e question.