logo article ou rubrique
Avis de recherche
Article mis en ligne le 30 septembre 2018
dernière modification le 29 septembre 2018

par Alain Bougeard

Rappel de l’Avis de Recherche

 On considère un polygone régulier à $$$n$$$ côtés. Comment construire $$$n-1$$$ demi-droites qui partent d’un même sommet et partagent le polygone en $$$n$$$ parties d’aires égales ? 

 

Dans le numéro précèdent je faisais miroiter la possibilité d’une industrialisation du découpage des polygones réguliers en parties de même aire par l’utilisation d’outils de GeoGebra. Les outils sont là mais le découpage reste semi-industriel seulement…

 

Outils de découpage

La longue expérimentation précédente sur les cas particuliers a permis de mettre au point des process (Ouais ! n’oublions pas que maintenant nous sommes dans le monde industriel qui préfère le franglais au latin) permettant d’automatiser la construction des parties cherchées qui sont toutes des triangles (T) ou des quadrilatères (Q) sauf la dernière qui peut avoir plus de côtés.

Donc ayant construit les triangles de départ (qui différent selon la parité du polygone), il s’agit de construire les suivants. On doit donc pour cela posséder 4 outils permettant de passer d’un triangle à un triangle (TT) ou à un quadrilatère (TQ) et d’un quadrilatère à un triangle (QT) ou à un quadrilatère (QQ).

Pour ceux qui ne sont pas familiers de la fabrication des outils dans GeoGebra et que ça intéresse je vais proposer un exemple sur l’un d’entre eux et donner quelques indications pour les autres.

 

Fabrication de l’outil TT

1re Étape : Faire la construction dans GeoGebra

La construction n’a pas besoin de se faire sur le polygone régulier. Au contraire une construction "hors contexte" permet de mieux comprendre ce que sont les objets d’un outil.

Nous partons d’un triangle ABC et nous voulons construire un triangle $$$ACE$$$ de même aire, avec $$$E$$$ sur $$$[CD]$$$ le côté suivant du polygone.

La construction est simple : construire $$$B'$$$ symétrique de $$$B$$$ par rapport à $$$[AC]$$$ et $$$E$$$ intersection de $$$(CD)$$$ avec la parallèle à $$$(AC)$$$ passant par $$$B'$$$. Évidemment $$$E$$$ ne convient que si $$$CE \leqslant CD$$$.

Pour fignoler j’ai ajouté un axe Δ qui sera l’axe de symétrie du polygone et le triangle $$$AC'E'$$$ symétrique de $$$ACE$$$ par rapport à $$$\Delta$$$. J’ai aussi ajouté un texte TT qui servira d’icône à l’outil.

N’oubliez pas d’enregistrer soigneusement la construction et une image de l’icône.

 

2e Étape : Enregistrer l’outil

Cliquer sur "outils" puis sur "créer un nouvel outil" : GeoGebra vous demande, dans un premier et deuxième onglets, de définir les objets finaux puis les objets initiaux.

  • Initial : c’est ce qu’il faut pour construire le figure : ici 4 points ($$$A$$$, $$$B$$$, $$$C$$$ et $$$D$$$) et une droite ($$$\Delta$$$)
  • Final : c’est ce que nous voulons faire apparaître : ici le triangle $$$ACE$$$ (auquel il faut ajouter le point $$$E$$$) et le triangle $$$AC'E'$$$ (auquel il faut ajouter les points $$$C'$$$ et $$$E'$$$ mais ce n’est pas obligatoire).

Enfin le 3e onglet : Nom et Icône

  • Nom de l’outil : j’ai choisi TTS
  • Nom de la commande : le même
  • Aide pour l’outil : Indiquer qu’il faut cliquer sur 4 points (DANS L’ORDRE) et une droite.
    Cochez la case "Visible dans la barre d’outils"
  • Icône : vous pouvez aller chercher l’image de l’icône que vous avez enregistrée

Vous devez alors cliquer sur fin pour créer votre outil mais attention il ne sera pas encore enregistré : pour cela il vous faudra ouvrir "Outils" et cliquer sur "Gérer les outils…" puis choisir "enregistrer" ce qui vous permettra de retrouver votre outil (sous la forme d’un .ggt) si vous l’avez perdu mais surtout de l’exporter où vous voulez.

 

3e Étape : Insérer l’icône dans la barre d’outils

C’est en principe très simple à condition que GeoGebra ne se montre pas trop capricieux…

En principe dans le Dossier "Outils" il suffit de cliquer sur "Barre d’outils personnalisée…" et d’utiliser les 4 boutons : Insérer, Retirer, Monter, Descendre pour mettre vos icônes à la place voulu dans la barre.. On finit par y arriver ! Et n’oubliez pas de cliquer sur "appliquer" en bas à droite avant de fermer sous peine de devoir tout recommencer.

En cas de problème vous pouvez toujours "Restaurer la barre d’outils par défaut"et recommencer.

 

Fabrication de l’outil TQ

Les objets initiaux sont 5 points ($$$ABC$$$ pour le triangle) $$$D$$$ et $$$E$$$ pour les sommets suivants du polygone et la droite $$$\Delta$$$.

Les objets finaux sont les deux quadrilatères $$$ACDG$$$ et $$$A'C'D'G'$$$ son symétrique.

Pour construire le point $$$G$$$ il faut d’abord construire le symétrique $$$B'$$$ de $$$B$$$ par rapport à $$$[AC]$$$, puis mener la parallèle à $$$[AC]$$$ passant par $$$B'$$$ qui coupe $$$(CB)$$$ en $$$F$$$ (Les triangles $$$ACB'$$$ et $$$ACF$$$ ont donc même aire) et enfin mener par $$$F$$$ la parallèle à $$$[AD]$$$ passant par $$$F$$$ qui coupe $$$(ED)$$$ en $$$G$$$ (les triangles $$$ADF$$$ et $$$ADG$$$ ont dont même aire) ce qui prouve que $$$ABC$$$ et $$$ACDG$$$ ont même aire.

Enfin on construit $$$AC'D'G'$$$.

Et on passe à l’enregistrement de l’outil TQ.

 

Fabrication de l’outil QT

La construction de QT est la plus simple :

  • Objets initiaux : 4 points $$$A$$$, $$$B$$$, $$$C$$$ et $$$D$$$ du quadrilatère et la droite
  • Objets finaux : les deux triangles $$$ADH'$$$ et $$$AD'H''$$$

On construit d’abord $$$H$$$ intersection de $$$(DC)$$$ avec la parallèle à $$$(AC)$$$ passant par $$$B$$$ (le triangle $$$AHD$$$ à même aire que le quadrilatère $$$ABCD$$$) puis l’on prend le symétrique $$$H'$$$ de $$$H$$$ par rapport à $$$D$$$, pour obtenir un point sur le côté suivant. S’il n’y est pas on utilisera l’outil suivant QQ.

Et bien sûr on passe à l’enregistrement de tout cela.

 

Fabrication de l’outil QQ

La construction de l’outil QQ commence exactement comme celle de QT (projection de $$$B$$$ sur $$$(DC)$$$ parallèlement à $$$[AD]$$$ en $$$G$$$ puis $$$G'$$$ son symétrique par rapport à $$$D$$$) mais cette fois-ci $$$G'$$$ n’appartient plus au côté $$$[DE]$$$ et il faut le projeter sur le côté suivant parallèlement à $$$(AE)$$$ en $$$H$$$ pour obtenir un quadrilatère $$$ADEH$$$ de même aire que celui de départ.

Donc nous avons comme objet initiaux 6 points (4 sommets du quadrilatère $$$ABCD$$$) et 2 points $$$E$$$ et $$$F$$$ des sommets suivants du polygone et une droite $$$\Delta$$$ et comme objets finaux les 2 parallélogrammes $$$ADEH$$$ et $$$AD'E'H'$$$.

 

Mise en œuvre des outils

Maintenant il faut utiliser ces outils pour partitionner les polygones réguliers en distinguant le cas pair du cas impair puisque le démarrage est différent.

Cas du polygone impair

L’animation ci-dessous de GeoGebra illustre le "process".

Pour voir cette animation GeoGebra, cliquez sur l’image suivante :

On considère un polygone à $$$2n+1$$$ côtés de centre $$$\Omega$$$, $$$A$$$ le sommet choisi et $$$\Delta$$$ l’axe de symétrie. Dans ce qui suit, on prend $$$ n=7$$$.

étape 1

La construction du premier triangle $$$APQ$$$ a été expliquée dans le numéro précédent (On trace les parallèles passant par $$$\Omega$$$ aux côtés$$$ [LM]$$$ et $$$[ED]$$$ qui donnent les points $$$P$$$ et $$$Q$$$).

À partir de là nous allons construire les triangles ou quadrilatères suivants (et leur symétrique) en utilisant l’outil adapté à choisir parmi TT, TQ, QT ou QQ.

étape 2

Nous partons du triangle $$$APQ$$$ et nous choisissons l’outil TQ (car $$$QH \lt PQ$$$) et nous obtenons le quadrilatère $$$AQHR$$$.

étape 3

À partir du quadrilatère $$$AQHR$$$ nous pouvons employer l’outil QT qui nous donne le triangle $$$ARV$$$ car $$$V$$$ appartient à $$$[RG]$$$.

étape 4

À partir du triangle $$$ARV$$$ nous devons employer l’outil TQ (car $$$VG \lt RV$$$) et nous obtenons le quadrilatère $$$AVGU$$$.

étape 5

À partir du quadrilatère $$$AVGU$$$ nous employons l’outil QT à titre expérimental (si le point $$$S$$$ n’appartenait pas au segment $$$[UF]$$$ nous emploierions QQ) . Nous obtenons le triangle $$$AUS$$$.

étape 6

À partir de ce triangle $$$USA$$$ l’outil TQ s’impose et donne le quadrilatère $$$ASFT$$$.

étape 7

À partir du quadrilatère $$$ASFT$$$ nous ne pouvons employer l’outil QT car le sommet du triangle serait largement en dehors du segment $$$[FE]$$$ Nous devons donc employer l’outil QQ qui nous donne le quadrilatère $$$ATEW$$$ qui est le dernier car nous avons déjà 13 parties.

Donc les dernières seront le pentagone $$$AWDCBA$$$ et son symétrique $$$AQNMW'$$$.

 

Cas du polygone pair

Exposé simplifié avec des explications à minima.

On considère un polygone à $$$2n$$$ côtés de centre $$$\Omega$$$, de sommet choisi $$$A$$$ et d’axe de symétrie $$$\Delta$$$. Avec $$$ n=7$$$, on a la figure suivante :

Comme démontré dans le numéro précédent les quatre premières parties sont les triangles $$$AHO$$$ et $$$AOG$$$ ($$$O$$$ milieu de $$$[HG]$$$) et leur symétrique $$$AHO'$$$ et $$$AO'I$$$.

Ensuite le triangle $$$AOG$$$ se transforme en triangle $$$AGP$$$ par TT qui se transforme en quadrilatère $$$APFR$$$ par TQ lequel se transforme en triangle $$$ARS$$$ par QT qui lui même se transforme en quadrilatère $$$ASEU$$$ par TQ lequel est le dernier des transformés et le pentagone $$$AUDCBA$$$ est donc la dernière partie restante.

Bien sûr GeoGebra nous permet de vérifier l’égalité des aires dans sa partie algèbre.

 

Est-ce industriel ?

Le process industriel (moderne) serait d’avoir la figure du polygone à $$$n$$$ côtés, le point $$$A$$$ choisi et un bouton sur lequel il suffirait d’appuyer pour déclencher la fabrication automatique de la partition en $$$n$$$ parties de même aire.

On en est encore loin. Les outils existent mais il faut construire les premiers triangles manuellement (en envisageant 2 cas selon que $$$n$$$ est pair ou impair), choisir soi-même les outils pour construire les autres parties, décider de s’arrêter à $$$n-2$$$ parties et construire à la main les 2 derniers polygones.

Est-ce possible avec GeoGebra ? En tout cas cela dépasse mes compétences. Peut-être que parmi nos lecteurs se trouvera-t-il un spécialiste de GeoGebra qui décidera de relever le défi !

 

Un peu de fantaisie pour finir

Les outils créés peuvent s’affranchir du polygone régulier et vivre leur propre vie pour créer des figures plus fantaisistes.

 

retour au sommaire

Les Chantiers de Pédagogie Mathématique n°178 septembre 2018
La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS