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Le trou du cube
Article mis en ligne le 30 mars 2015
dernière modification le 10 juillet 2017

par Alain Bougeard

Pas de réaction à la suite de la publication de la 1re partie de ce passionnant feuilleton. Voici donc la deuxième partie qui sera en fait la seconde, partie essentiellement due à à Erwan Adam et ses tortues.

2e PARTIE : CALCUL DU VIDE…

Tout a commencé par l’envoi d’une note (sommaire) en réponse à la question posée traitée en toute généralité avec un cube d’arête $$$a$$$ et des trous de rayons $$$R$$$.

Jugez plutôt :

Découpons d’abord le cube troué (qui a les mêmes symétries que le cube) en 48 tétraèdres troués identiques :

La forme du trou dan le tétraèdre : un huitième de cylindre, coupé en bas par un plan bissecteur des plans de coordonnées. La plus grande hauteur est $$$\dfrac{a}{2}$$$, demi-arête du cube de départ. Le rayon du cylindre est noté $$$R$$$.

Pour le calcul du volume de cette portion de cylindre, les coordonnées cylindriques s’imposent :

$$$V = \displaystyle \iint (\dfrac{a}{2} - r\cos\theta) dS$$$
$$$V = \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{0}^{R} (\dfrac{a}{2} - r\cos\theta) r dr d\theta$$$
$$$V = R^2(\dfrac{\pi}{16}a - \dfrac{\sqrt{2}}{6}R)$$$

Le volume du trou est 48 fois plus grand :

$$$V = R^2(3\pi a - 8\sqrt{2}R)$$$

Bon, ben voilà…

Le découpage du cube en 8x3x2=48 morceaux semble compréhensible mais ne fait pas clairement apparaître les quarante-huitièmes de trou décrit en dessous.

Heureusement qu’Erwan a dressé 48 tortues pour nous faire assister à l’éclatement du trou :

48 tortues trouent le cube !

Le calcul de l’intégrale double n’est pas très difficile et le résultat conforme au mien (en prenant $$$a = 3$$$ et $$$R = \dfrac{1}{2}$$$ on obtient bien $$$V = \dfrac{9\pi}{4} - \sqrt{2}$$$ comme dans la 1re partie).

Il ne reste plus qu’à comprendre pourquoi la hauteur de la portion de cylindre au point de coordonnées $$$(r, \theta, 0)$$$ vaut $$$\dfrac{a}{2} - r\cos\theta$$$.

Heureusement que GeoGebra est venu à mon secours :

Dans un des tétraèdres troué $$$OACO'A'C'$$$, on considère un point $$$L$$$ du trou dont la projection $$$K$$$ sur le plan $$$z = 0$$$ a pour coordonnées polaires $$$r$$$ et $$$\theta$$$ (l’axe des $$$x$$$ étant porté par la droite $$$(OA)$$$).

Soit $$$N$$$ la projection de point $$$L$$$ sur le plan $$$x = 0$$$ ;

$$$LN = OH = r \cos\theta$$$ (c’est la distance entre les plans parallèles $$$(HKL)$$$ et $$$x = 0$$$)

$$$KL = LN$$$ comme appartenant au plan bissecteur des plans $$$x = 0$$$ et $$$z = 0$$$.

D’où $$$KL = r \cos\theta$$$ et bien sûr $$$K'L = \dfrac{a}{2} - r\cos\theta$$$.

Voila donc la formule éclaircie…

Maintenant si vous avez pris goût au percement du cube vous pouvez recommencer en perçant celui-ci selon ses 4 diagonales du et continuer avec un tétraèdre régulier en le perçant perpendiculairement au centre des 4 faces (et en débouchant sur le sommet opposé) et continuer avec l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre réguliers.

Méthode originale de visiter de l’intérieur les 5 polyèdres platoniciens !

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Les chantiers de pédagogie mathématique n°164 mars 2015
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