Le trou du cube
Article mis en ligne le 30 mars 2015
dernière modification le 26 décembre 2020

par Alain Bougeard

Pas de réaction à la suite de la publication de la 1re partie de ce passionnant feuilleton. Voici donc la deuxième partie qui sera en fait la seconde, partie essentiellement due à à Erwan Adam et ses tortues.

2e PARTIE : CALCUL DU VIDE…

Tout a commencé par l’envoi d’une note (sommaire) en réponse à la question posée traitée en toute généralité avec un cube d’arête $a$ et des trous de rayons $R$.

Jugez plutôt :

Découpons d’abord le cube troué (qui a les mêmes symétries que le cube) en 48 tétraèdres troués identiques :

La forme du trou dan le tétraèdre : un huitième de cylindre, coupé en bas par un plan bissecteur des plans de coordonnées. La plus grande hauteur est $\dfrac{a}{2}$, demi-arête du cube de départ. Le rayon du cylindre est noté $R$.

Pour le calcul du volume de cette portion de cylindre, les coordonnées cylindriques s’imposent :

$$V = \displaystyle \iint (\dfrac{a}{2} - r\cos\theta) dS$$


$$V = \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{0}^{R} (\dfrac{a}{2} - r\cos\theta) r dr d\theta$$


$$V = R^2(\dfrac{\pi}{16}a - \dfrac{\sqrt{2}}{6}R)$$

Le volume du trou est 48 fois plus grand :

$$V = R^2(3\pi a - 8\sqrt{2}R)$$

Bon, ben voilà…

Le découpage du cube en 8x3x2=48 morceaux semble compréhensible mais ne fait pas clairement apparaître les quarante-huitièmes de trou décrit en dessous.

Heureusement qu’Erwan a dressé 48 tortues pour nous faire assister à l’éclatement du trou :

48 tortues trouent le cube !

Le calcul de l’intégrale double n’est pas très difficile et le résultat conforme au mien (en prenant $a = 3$ et $R = \dfrac{1}{2}$ on obtient bien $V = \dfrac{9\pi}{4} - \sqrt{2}$ comme dans la 1re partie).

Il ne reste plus qu’à comprendre pourquoi la hauteur de la portion de cylindre au point de coordonnées $(r, \theta, 0)$ vaut $\dfrac{a}{2} - r\cos\theta$.

Heureusement que GeoGebra est venu à mon secours :

Dans un des tétraèdres troué $OACO’A’C’$, on considère un point $L$ du trou dont la projection $K$ sur le plan $z = 0$ a pour coordonnées polaires $r$ et $\theta$ (l’axe des $x$ étant porté par la droite $(OA)$).

Soit $N$ la projection de point $L$ sur le plan $x = 0$ ;

$LN = OH = r \cos\theta$ (c’est la distance entre les plans parallèles $(HKL)$ et $x = 0$)

$KL = LN$ comme appartenant au plan bissecteur des plans $x = 0$ et $z = 0$.

D’où $KL = r \cos\theta$ et bien sûr $K’L = \dfrac{a}{2} - r\cos\theta$.

Voila donc la formule éclaircie…

Maintenant si vous avez pris goût au percement du cube vous pouvez recommencer en perçant celui-ci selon ses 4 diagonales du et continuer avec un tétraèdre régulier en le perçant perpendiculairement au centre des 4 faces (et en débouchant sur le sommet opposé) et continuer avec l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre réguliers.

Méthode originale de visiter de l’intérieur les 5 polyèdres platoniciens !



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