Les carrés « somme — produit »
Article mis en ligne le 5 juillet 2021
dernière modification le 4 juillet 2021

par Serge Seguin

Solutions des exercices

Vous trouverez ci-joint des solutions pour les tableaux de nombres « enchevêtrés » de l’article du numéro 188 des Chantiers, article présentant une méthode ludique pour s’entraîner en Collège aux techniques algébriques de base : calculs, priorités des opérations, développements, factorisations… jusqu’à la résolution d’équations et même de systèmes.

 

Quelques propriétés

Sans oublier les démonstrations des propriétés énoncées dans l’article du numéro 188.

On se place dans le cas où les huit nombres sont des entiers tous distincts et strictement positifs.

 

  1. On ne peut pas avoir $ad – bc = 0$.
     
    Faisons une démonstration par l’absurde. Supposons donc que $d = \dfrac{bc}{a}$ ($a$ est non nul).
    De l’égalité $ma + nb = mc + nd$, on déduit $ma + nb = mc + n\dfrac{bc}{a}$,
    i.e. : $m(a-c) = nb\left(\dfrac{c}{a}-1\right)$, ou encore $m(a-c) = nb\left(\dfrac{c-a}{a}\right)$,
    et comme $c – a$ est non nul, $m = -\dfrac{nb}{a}$ , i.e. $ma+nb = 0$
    ce qui est impossible puisque tous les nombres cités sont strictement positifs,
    on ne peut donc avoir $ad – bc = 0$.
     
    Remarque : Si on accepte les nombres négatifs, il est alors possible d’avoir $ad - bc = 0$. Et dans ce cas, sauf si les quatre nombres dans le tableau sont égaux, on montre aisément que la somme globale ne peut être que $0$. Par exemple :
     
  2. On a toujours $m + n = r + s$.
     
    On a : $ra + sc = rb + sd = ma + nb = mc + nd$.
    De l’égalité $ma + nb = mc + nd$, on déduit $m(a – c) = n(d – b)$,
    donc $n = \dfrac{m(a-c)}{d-b}$.
    De l’égalité $ra + sc = rb + sd$, on déduit $r(a – b) = s(d – c)$,
    donc $s = \dfrac{r(a-b)}{d-c}$.
    De l’égalité $rb + sd = ma + nb$,
    on déduit $rb + \dfrac{r(a-b)}{d-c}d = ma + \dfrac{m(a-c)}{d-b}b$,
    i.e. $r\left(\dfrac{bd-bc+ad-bd}{d-c}\right) = m\left(\dfrac{ad-ab+ab-bc}{d-b}\right)$,
    i.e. $r\left(\dfrac{-bc+ad}{d-c}\right) = m\left(\dfrac{ad-bc}{d-b}\right)$.
    Or, comme on a vu ci-dessus, $ad – bc$ est non nul,
    donc on a : $\dfrac{r}{d-c} = \dfrac{m}{d-b}$.
    Calculons $m + n$ et $r + s$ :
    $m + n = m + \dfrac{m(a-c)}{d-b} = m\dfrac{d-b+a-c}{d-b}$
    $r+s = r + \dfrac{r(a-b)}{d-c} = r\dfrac{d-c+a-b}{d-c}$.
    Donc $m + n = \dfrac{m}{d-b}(d-b+a-c)$ et $r+s = \dfrac{r}{d-c}(d-c+a-b)$.
    D’après l’égalité $\dfrac{r}{d-c} = \dfrac{m}{d-b}$ vue précédemment,
    on a donc montré que $m + n = r + s$.
     
     
     
  3. $a + d$ et $b + c$ ne sont jamais égaux.
     
    Comme $m + n$ est un nombre strictement positif, et que $m+n = m\dfrac{d-b+a-c}{d-b}$
    on a ainsi prouvé que $a + d$ et $b + c$ ne sont jamais égaux.
     
     
     
  4. Est-ce vrai ?
    (voir l’énoncé complet dans le numéro 188 des Chantiers)
     
    Il s’agit d’une conjecture que j’ai repérée au vu des multiples exemples énoncés dans les exercices, mais je n’ai pas de démonstration. J’en appelle à votre sagacité !

 

Voyez-vous d’autres propriétés à ces tableaux enchevêtrés ?

 

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Les chantiers de pédagogie mathématique n°189 juillet 2021
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