logo article ou rubrique
OUI ou NON
Article mis en ligne le 23 juin 2014
dernière modification le 10 juillet 2017

par Alain Bougeard
logo imprimer

Réponse à la question n°9

La question de mars 2014 était :

Question n°9

Peut-on calculer l’intégrale $$$I_n$$$ sans calcul intégral ?

$$$I_n = \displaystyle \int\limits_{x=1}^{n} \mid{x-1}\mid + \mid{x-2}\mid + \, \cdots \, + \mid{x-n}\mid dx = \int\limits_{x=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \mid{x-k}\mid dx$$$

Je ne sais plus d’où sort cet énoncé bizarre que j’avais pris pour un exercice un peu tordu de calcul intégral et résolu comme tel :

Soit $$$I_n = \displaystyle \int_{1}^{n} \mid{x-1}\mid + \mid{x-2}\mid + \, \cdots \, + \mid{x-n}\mid dx = \int_{1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \mid{x-k}\mid dx = \sum_{k=1}^{n} \int_{1}^{n} \mid{x-k}\mid dx$$$

$$$I_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \left( \int_{1}^{k} (k-x)dx + \int_{k}^{n} (x-k)dx \right)$$$ d’après la définition de la valeur absolue.

$$$I_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \left( \left[ kx - \dfrac{x^2}{2} \right]_{1}^{k} + \left[ \dfrac{x^2}{2} - kx \right]_{k}^{n} \right) = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \left( k^2 - \dfrac{k^2}{2} - k + \dfrac{1}{2} + \dfrac{n^2}{2} -kn - \dfrac{k^2}{2} + k^2\right)$$$

$$$I_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \left( k^2 - (n+1)k + \dfrac{n^2 + 1}{2} \right) = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} - (n+1)\dfrac{n(n+1)}{2} + n\dfrac{n^2+1}{2}$$$

$$$I_n = \dfrac{n}{6}(2n^2 - 3n +1) = \dfrac{n(n-1)(2n-1)}{6}$$$

Ce qui prouve que $$$I_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k^2$$$ et cela conduit à se demander s’il n’existe pas une méthode plus simple…

Et puis je l’avais oublié et le retrouvant quelques décennies plus tard, lorsque l’expérience fut venue, je ne pensai plus au calcul intégral mais à la fonction et à son interprétation graphique. L’intégrale de chacune des fonctions $$$f_k = \displaystyle \mid{x-k}\mid$$$ est égale à la somme des aires des triangles rectangles isocèles $$$A_k$$$ et $$$B_k$$$ de côté respectif $$$(k-1)^2$$$ et $$$(n-k)^2$$$ et la somme de tous ces triangles pour k appartenant à [1, n] est égale à la somme des aires des carrés de côté $$$1$$$ à $$$(n-1)^2$$$ ce qui donne le résultat cherché.

Peu de réaction à cet exercice à part Bruno Alaplantive (ce qui prouve que nous sommes lus jusqu’à Toulouse… au moins) qui a envoyé une animation GeoGebra ressemblant à celle que j’ai proposée et qui, sans donner le résultat, permet au moins d’y parvenir en fournissant la géométrie sous-jacente avec une construction algébrique originale.

Une autre solution parvenue in extremis de Pierre Campet mais, comme il le reconnaît lui-même, qui utilise le calcul intégral pour calculer par récurrence l’intégrale.

Question n°10

Pour les vacances un peu de géométrie facile :

QUESTION n° 10

Peut-on construire un triangle connaissant son orthocentre et son centre de gravité ?

Le trou du cube

Et puis, en cadeau (si vous aimez la géométrie dans l’espace et les calculs) juste pour voir si vous trouvez le même résultat que moi :

Le Trou du cube

Quel est le volume exact du trou obtenu en traversant un cube d’arête 3 cm à l’aide d’une mèche de diamètre 1 cm, perpendiculairement aux faces, en leur centre ?

Bonnes Vacances

retour au sommaire

Les chantiers de pédagogie mathématique n°161 juin 2014
La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS




Actus

Les Journées Nationales 2018

Bordeaux 2018

Les Journées Nationales de l’Apmep auront lieu cette année à (...)

Le concours 2018 - 2019

La Régionale Île-de-France de l’APMEP et l’IREM de Paris vous proposent (...)

Sommaire des Chantiers juin 2018

Édito Ajustements et clarifications au Collège, changements aux Lycées, mais (...)

Une nouvelle revue à l’APMEP en 2018 : « Au fil des maths »

Lors du comité national de mars 2016, il a été décidé de créer une nouvelle (...)

Rapport pour le lycée professionnel

Le ministre de l’éducation a confié une mission sur l’avenir de la voie (...)

La diffusion des mathématiques avec le CNRS

Le CNRS et l’EHESS ont sorti à l’occasion de la semaine des maths une vidéo (...)

La mission Villani-Torossian

L’APMEP avait mis à disposition de tous une note de synthèse présentée à la (...)

Rapport Mathiot

Le rapport Mathiot a été remis : vous trouverez sur le site national les (...)

Brochure Jeux de l’Apmep

Une nouvelle brochure, en co-édition avec les Éditions du Kangourou, du (...)

Évènements à venir

0 | 5 | 10 | 15

04
juin
2018
horaire du lundi 4 juin 2018
au vendredi 21 décembre 2018

15
septembre
2018
horaire du samedi 15 septembre 2018
au vendredi 5 avril 2019

02
octobre
2018
horaire du mardi 2 octobre 2018
au dimanche 7 juillet 2019

16
octobre
2018

17
octobre
2018

Twitter APMEP IdF

pucePlan du site puceContact puceMentions légales puceEspace rédacteurs pucesquelette puce RSS

2013-2018 © APMEP Île-de-France - Tous droits réservés
Haut de page
Réalisé sous SPIP
Habillage ESCAL 4.1.11