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Translations et vecteurs en seconde générale
Article mis en ligne le 21 décembre 2015
dernière modification le 4 juillet 2017

par Rémy Coste
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Phase 1 : Diagnostic

Construction de l’image d’une figure par une symétrie axiale, par une symétrie centrale.

Sur une feuille non quadrillée :

  • Construction 1 : Symétrie axiale d’axe non parallèle aux bords de la feuille et traversant la figure
  • Construction 2 : Symétrie centrale, figure constituée d’un trapèze et d’un cercle, centre de la symétrie à l’intérieur du trapèze.
    Évocation des propriétés : conservation du parallélisme, image d’un cercle

Après que les élèves aient fait les constructions, le professeur réalise les constructions avec un logiciel de géométrie dynamique pour valider les productions et, en modifiant et déplaçant la figure, revient sur la définition des symétries, les propriétés, les différents cas de figure.



Phase 2 : Composition de symétries

Construction de l’image d’un triangle par la composée de 2 symétries.

Sur une feuille non quadrillée :

  • Construction 3 : Composition de 2 symétries d’axes parallèles
  • Construction 4 : Composition de 2 symétries centrales

Après que les élèves aient fait les constructions, le professeur vidéo projette les constructions réalisées avec le logiciel de géométrie, et en déplaçant la figure initiale, permet aux élèves d’observer les effets de ces déplacements, en particulier sur la figure finale. Il cache les axes de symétrie (ou les centres de symétrie), ainsi que la figure intermédiaire pour faire le lien avec la phase 3.



Phase 3 : Recherche d’une nouvelle transformation géométrique

Un polygone ABCDE est donné, ainsi qu’un point A’’.

Consignes :

  • Construire directement le polygone A"B"C"D"E", à partir du polygone ABCDE, sachant qu’il est le résultat obtenu par 2 symétries successives d’axes parallèles (axes non apparents), sans chercher à retrouver la position des axes. La flèche reliant A à A" permet de visualiser que A" est l’image de A.
  • Décrire une procédure générale pour y parvenir.

Validation :
Les élèves peuvent éprouver la procédure qu’ils décrivent en l’expérimentant sur leur construction précédente de la phase 2.

Le professeur utilise la figure sous GeoGebra (Phase3-Recherche.ggb en téléchargement) confirme cette validation en faisant apparaître les axes des symétries et les constructions intermédiaires (à l’aide des boutons sous la figure). Ces boutons permettent rapidement de cacher à nouveau ces éléments pour ne garder que les polygones ABCDE et A"B"C"D"E", ainsi que les flèches AA", BB", etc…

Commentaires :
Majoritairement, les élèves décrivent leur procédure en privilégiant le fait que (AB)//(A"B") et que AB = A"B". Malgré la présence des flèches visibles sur la figure vidéoprojetée, ils mettent rarement en avant que (AA")//(BB") et que AA" = BB", et surtout ne pensent jamais spontanément à la question du sens. La mise en œuvre pas à pas de la procédure avec le logiciel de géométrie par le professeur sous la dictée d’un élève, ou mieux par l’élève lui-même s’il sait l’utiliser, permet de mettre en évidence que le parallélisme et l’égalité des longueurs donnent 2 points possibles, qu’il faut distinguer par la notion de sens.

Le recours à un parallélogramme résume toutes ces contraintes, et permet en outre de réconcilier le point de vue initial ((AB)//(A"B") et AB = A"B") avec celui que l’on privilégiera pour installer l’égalité de vecteurs ((AA")//BB") et AA" = BB").

La définition de translation de vecteur donné est énoncé (M a pour image M’ par la translation de vecteur AB signifie que ABM’M est un parallélogramme).

Cette activité permet de mettre en évidence 2 aspects intéressants pour donner aux élèves une représentation de ce qui fait, entre autre, les mathématiques

  • On découvre "fortuitement" l’existence d’une nouvelle transformation, et on met au point la procédure de construction expérimentalement.
  • On élabore une définition qui doit correspondre à ce que l’on veut obtenir.

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    Les chantiers de pédagogie mathématique n°167 décembre 2015
    La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS



Téléchargements Fichiers à télécharger :
  • phase3-recherche.ggb.zip
  • 5.2 ko / Zip
  • phase 1 : diagnostic
  • 16.2 ko / Word
  • phase 2 : composition de symétries
  • 19.4 ko / Word
  • phase 3 : rechcerche
  • 31 ko / Word

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