Avis de recherche du n°191
Rappelons l’avis de recherche du numéro 191 de janvier 2022 :
Soit $ABCD$ un carré de longueur de côté 1.
Toutes les constructions suivantes se passent à l’intérieur de ce carré.
- On trace le demi-cercle $\mathscr{C_1}$ de diamètre $[AB]$.
- On trace le demi-cercle $\mathscr{C_2}$ passant par $C$, de centre $E$ appartenant à $[BC]$ et tangent extérieurement à $\mathscr{C_1}$.
- On trace le demi-cercle $\mathscr{C_3}$ passant par $D$, de centre $F$ appartenant à $[CD]$ et tangent extérieurement à $\mathscr{C_2}$.
- Montrer qu’il existe un unique demi-cercle $\mathscr{C_4}$ à l’intérieur du carré, de centre $G$ appartenant à $[DA]$ et tangent extérieurement à la fois à $\mathscr{C_1}$ et à $\mathscr{C_3}$.
- Calculer $AG$.
Prolongements :
- 2 cercles tangents $\mathscr{C_5}$ et $\mathscr{C_6}$, d’une part aux cercles $\mathscr{C_1}$, $\mathscr{C_3}$ et $\mathscr{C_4}$ (est-ce possible ?), et d’autre part aux cercles $\mathscr{C_1}$, $\mathscr{C_2}$ et $\mathscr{C_3}$ (idem) ; ces 2 cercles $\mathscr{C_5}$ et $\mathscr{C_6}$ ont pour centres respectifs $O_5$ et $O_6$ : sont-ils alignés avec $E$ et $G$ ?
- et si on rajoute un cercle $\mathscr{C_7}$ tangent à $\mathscr{C_5}$, $\mathscr{C_6}$, $\mathscr{C_1}$ et $\mathscr{C_3}$ (est-ce d’ailleurs possible ?), son centre $O_7$ est-il aligné avec $F$ et $I$ ?
Voici une solution à cet avis.
Plaçons-nous dans le repère ($A$ ; $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AD}$).
Notons $e$ l’ordonnée du point $E$ : le rayon $R_2$ du demi-cercle $\mathscr{C_2}$ est donc égal à $1 – e$.
Les demi-cercles $\mathscr{C_1}$ et $\mathscr{C_2}$ sont tangents extérieurement en $T_1$,
donc $IE$ = $IT_1$ + $T_1E$ = $\dfrac{1}{2} + (1 - e)$.
Le triangle $BEI$ étant rectangle en $B$, on a, d’après le théorème de Pythagore,
$EI^2$ = $BE^2$ + $BI^2$ , i.e. $\left(\dfrac{1}{2}+1-e\right)^2$ = $e^2$ + $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$
ce qui permet d’obtenir $e$ = $\dfrac{2}{3}$ :
le point $E$ est situé aux deux-tiers du segment $[BC]$ et le rayon du demi-cercle $\mathscr{C_2}$ est $R_2$ = $\dfrac{1}{3}$.
Notons ensuite $f$ l’abscisse du point $F$. Le rayon du demi-cercle $\mathscr{C_3}$ est donc égal à $f$.
Les demi-cercles $\mathscr{C_2}$ et $\mathscr{C_3}$ sont tangents extérieurement en $T_2$ , donc $EF$ = $ET_2$ + $T_2F$ .
Le triangle $CEF$ étant rectangle en $C$, on a, d’après le théorème de Pythagore,
$EF^2$ = $EC^2$ + $CF^2$ , i.e. $\left(\dfrac{1}{3}+ f\right)^2$ = $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2$ + $(1 - f)^2$
on obtient $f$ = $\dfrac{3}{8}$ d’où $R_3$ = $\dfrac{3}{8}$.
Notons enfin $g$ l’ordonnée de $G$ et $r$ le rayon du demi-cercle $\mathscr{C_4}$.
Les triangles $DFG$ et $AGI$ étant rectangles respectivement en $D$ et $A$, on a, d’après le théorème de Pythagore, $IG^2$ = $IA^2$ + $AG^2$ et $FG^2$ = $FD^2$ + $DG^2$,
i.e. $\left(\dfrac{1}{2}+ r\right)^2$ = $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$ + $g^2$ et $\left(\dfrac{3}{8}+ r\right)^2$ = $\left(\dfrac{3}{8}\right)^2 + (1-g)^2$
en développant, on a donc $r + r^2$ = $g^2$ et $\dfrac{3}{4}r + r^2$ = $1 - 2g + g^2$
donc $g^2 - r^2$ = $r$ = $\dfrac{3}{4}r -1 +2g$
ce qui donne $r$ = $8g - 4$
à partir de $r$ + $r^2$ = $g^2$ , on obtient donc $63g^2 − 56g + 12 = 0$.
Le discriminant de cette équation est $\Delta$ = $56^2 − 4 \times 63 \times 12$ = $112$ = $4^2 \times 7$.
L’équation a donc deux solutions, qui sont $g_1$ = $\dfrac{28 - 2\sqrt{7}}{63} \approx 0,36$ et $g_2$ = $\dfrac{28 + 2\sqrt{7}}{63} \approx 0,53$
Avec $r$ = $8g - 4$, les valeurs de r correspondantes sont :
$r_1$ = $\dfrac{-28 - 16\sqrt{7}}{63} < 0$ qui ne convient donc pas
et $r_2$ = $\dfrac{-28 + 16\sqrt{7}}{63} \approx 0,23$
Ainsi, $AG$ = $\dfrac{28 + 2\sqrt{7}}{63} \approx 0,53$.
Nouvel avis de recherche
Considérons l’entier $N$ = 123 456 789 et posons $U_N$ = 123 456 789 + 12 345 678 + 1 234 567 + 123 456 + 12 345 + 1 234 + 123 + 12 + 1 = 137 174 205, obtenu en ajoutant tous les entiers composés à partir des chiffres de $N$ en retirant successivement les chiffres des unités de l’entier précédent.
On pose aussi $S_N$ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, qui est la somme des chiffres de $N$.
Il existe bien sûr une infinité de réels $p$ et $q$ tels que $U_N = pN + qS_N$,
mais il existe en particulier un couple $(p ; q)$, indépendant de $N$, pour lequel l’égalité $U_N = pN + qS_N$ est vraie pour tout entier positif $N$.
Sauriez-vous trouver un tel couple $(p \, { ;} \, q)$ ?
Pour cet avis de recherche, ainsi que des compléments sur des avis précédents, écrivez-nous à l’adresse des problèmes des Chantiers.
La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS