Aucune réponse pour le cadeau de Noël… Évidemment il y avait beaucoup trop de monde ! Alors dans ces cas là, moi je simplifie.

Et s’ils n’étaient que $2$ ?

$M_1$ avait serré une main, forcément celle de $M_2$ donc la réponse est $1$.

Et s’ils n’étaient que $3$ ?

$M_1$ avait serré une main mais je ne sais pas à qui. Par contre $M_2$ avait serré 2 mains donc forcément celles de $M_1$ et de $M_3$. Donc $M_1$ a rempli sa mission et $M_3 $ avait donc serré une main et la réponse est $1$.

Déjà une idée : il faut mieux commencer par la fin que par le début ! Continuons…

Et s’ils n’étaient que $4$ ?

Je ne sais rien pour $M_4$ mais $M_3$ qui serre 3 mains donc forcément celles de $M_1$ ,$M_2$ et $M_4$ .

Maintenant $M_1$ est servi et $M_2$ doit serrer les mains de $M_3$ et de $M_4$ et donc finalement $M_4$ a serré $2$ mains.

Et pour $5$ et $6$ si l’on faisait un petit dessin ?

Pour $5$ :

• $M_4$ sert les mains de $M_1$, $M_2$, $M_3$ et $M_5$
   
• $M_3$ a serré la main de $M_4$ donc il lui reste à serrer les mains de $M_2$ et $M_5$
   
• $M_2$ et $M_1$ sont servis donc $M_5$ a serré $2$ mains

Ainsi, on réalise qu’en raisonnant de $M_4$ à $M_1$ il y a deux « actifs » qui ont serré la main de ceux qui ne sont pas servis (et du 5^e) et deux « passifs » qui se sont fait serrer la main par les actifs.

Pour $6$ :

• $M_5$ sert les mains de $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$ et $M_6$
   
• $M_4$ a serré la main de $M_5$ donc il lui reste à serrer les mains de $M_3$, $M_2$ et $M_6$
   
• $M_3$ a serré la main de $M_5$ et $M_4$ donc il lui reste à serrer la main de $M_6$
   
• $M_2$ et $M_1$ sont servis donc $M_6$ a serré $3$ mains

Ainsi il y a trois « actifs » qui ont serré la main de ceux qui n’avaient pas encore leur compte et du 6^e et trois « passifs » qui se sont fait serrer la main par les actifs.

En sait-on assez pour se lancer dans le cas de $n$ mathématiciens ?

Pour cela il faut orienter les poignées de mains données par un actif et reçues par un passif, définir exactement ce qu’on appelle les actifs qui donnent au moins une poignée de mains et dont les indices $p$ décroissent de $n-1$ à $x$ (le plus petit des actifs) et les passifs qui se contentent de recevoir des poignées de mains et dont les indices $p$ décroissent de $1$ à $x-1$ (le plus grand des passifs) sans oublier naturellement le passif $M_n$ dont il faut trouver le nombre de poignées de mains reçues.

On peut regrouper tous les mathématiciens sauf $M_n$ en couples (passif, actif) tels que ($M_i$, $M_{n-i}$), $i$ variant de $1$ à $x$.

Mais pour dénombrer il est nécessaire de distinguer les cas impairs et pairs.

• Si $n = 2k+1$
   
  En enlevant $M_n$, il reste $2k$ personnes formant $k$ couples $(1,n-1)$, $(2,n-2)$ … $(k,k+1)$ et tous les actifs de ces couples ont serré la main de $M_n$ qui a donc serré $k$ mains !
   
  On pourrait dire lâchement que c’est fini puisque dans l’énoncé $n = 2019$ donc la réponse est $\frac{2019 - 1}{2}=1009$. Mais, pour l’honneur de l’esprit humain, résolvons aussi le cas pair…

• Si $n=2k$
   
  En enlevant $M_n$, il reste $2k-1$ personnes formant $k-1$ couples $(1,n-1)$, $(2,n-2)$ … $(k-1,k+1)$ et un isolé $k$. Qu’est-il ? Actif ou passif ?
   
  En tant que passif il a reçu les poignées de mains de ceux dont l’indice varie de $n-1=2k-1$ à $k+1$ c’est à dire $k-1$ poignées de mains : il en manque une pour faire les $k$ nécessaires. Il va donc être obligé d’aller activement serrer la main de $M_n$ dont le score va ainsi passer de $k-1$ à $k$.

En résumé

Si $n=2k+1$ ou $n=2k$, $M_n$ serre $k$ mains ce que l’on peut résumer en disant que dans tous les cas $M_n$ serre $E(\frac{n}{2})$ poignées de mains — $E$ étant la fonction partie entière.