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Avis de recherche
Article mis en ligne le 7 avril 2021
dernière modification le 11 août 2023

par Alain Bougeard
En l’an de grâce deux-mil-dix-neuf, avant le couronnement du virus, 2019 mathématiciens tenaient congrès.
Mathématiquement ils s’appelaient M1,M2,M2019.
N’étant pas tenus de garder les distances sociales, ils s’étaient serrés la main à la façon des mathématiciens c’est-à-dire que M1 avait serré une main, M2 deux, M3 trois, …et M2018 deux-mille-dix-huit.
Mais combien M2019 avait-il serré de mains ?

 

Aucune réponse pour le cadeau de Noël… Évidemment il y avait beaucoup trop de monde ! Alors dans ces cas là, moi je simplifie.

 

Et s’ils n’étaient que 2 ?

M1 avait serré une main, forcément celle de M2 donc la réponse est 1.

 

Et s’ils n’étaient que 3 ?

M1 avait serré une main mais je ne sais pas à qui. Par contre M2 avait serré 2 mains donc forcément celles de M1 et de M3. Donc M1 a rempli sa mission et M3 avait donc serré une main et la réponse est 1.

Déjà une idée : il faut mieux commencer par la fin que par le début ! Continuons…

 

Et s’ils n’étaient que 4 ?

Je ne sais rien pour M4 mais M3 qui serre 3 mains donc forcément celles de M1 ,M2 et M4 .

Maintenant M1 est servi et M2 doit serrer les mains de M3 et de M4 et donc finalement M4 a serré 2 mains.

 

Et pour 5 et 6 si l’on faisait un petit dessin ?

Pour 5 :

  • M4 sert les mains de M1, M2, M3 et M5
     
  • M3 a serré la main de M4 donc il lui reste à serrer les mains de M2 et M5
     
  • M2 et M1 sont servis donc M5 a serré 2 mains

Ainsi, on réalise qu’en raisonnant de M4 à M1 il y a deux « actifs » qui ont serré la main de ceux qui ne sont pas servis (et du 5e) et deux « passifs » qui se sont fait serrer la main par les actifs.



Pour 6 :

  • M5 sert les mains de M1, M2, M3, M4 et M6
     
  • M4 a serré la main de M5 donc il lui reste à serrer les mains de M3, M2 et M6
     
  • M3 a serré la main de M5 et M4 donc il lui reste à serrer la main de M6
     
  • M2 et M1 sont servis donc M6 a serré 3 mains

Ainsi il y a trois « actifs » qui ont serré la main de ceux qui n’avaient pas encore leur compte et du 6e et trois « passifs » qui se sont fait serrer la main par les actifs.



En sait-on assez pour se lancer dans le cas de n mathématiciens ?

Pour cela il faut orienter les poignées de mains données par un actif et reçues par un passif, définir exactement ce qu’on appelle les actifs qui donnent au moins une poignée de mains et dont les indices p décroissent de n1 à x (le plus petit des actifs) et les passifs qui se contentent de recevoir des poignées de mains et dont les indices p décroissent de 1 à x1 (le plus grand des passifs) sans oublier naturellement le passif Mn dont il faut trouver le nombre de poignées de mains reçues.

On peut regrouper tous les mathématiciens sauf Mn en couples (passif, actif) tels que (Mi, Mni), i variant de 1 à x.

Mais pour dénombrer il est nécessaire de distinguer les cas impairs et pairs.

  • Si n=2k+1
     
    En enlevant Mn, il reste 2k personnes formant k couples (1,n1), (2,n2)(k,k+1) et tous les actifs de ces couples ont serré la main de Mn qui a donc serré k mains !
     
    On pourrait dire lâchement que c’est fini puisque dans l’énoncé n=2019 donc la réponse est 201912=1009. Mais, pour l’honneur de l’esprit humain, résolvons aussi le cas pair…
  • Si n=2k
     
    En enlevant Mn, il reste 2k1 personnes formant k1 couples (1,n1), (2,n2)(k1,k+1) et un isolé k. Qu’est-il ? Actif ou passif ?
     
    En tant que passif il a reçu les poignées de mains de ceux dont l’indice varie de n1=2k1 à k+1 c’est à dire k1 poignées de mains : il en manque une pour faire les k nécessaires. Il va donc être obligé d’aller activement serrer la main de Mn dont le score va ainsi passer de k1 à k.

 

En résumé

Si n=2k+1 ou n=2k, Mn serre k mains ce que l’on peut résumer en disant que dans tous les cas Mn serre E(n2) poignées de mains — E étant la fonction partie entière.

 

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Les chantiers de pédagogie mathématique n°188 avril 2021
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