Des tableaux de nombres « enchevêtrés »

La notion proposée ici a un double but : rechercher quelques propriétés intéressantes de tableaux de nombres « enchevêtrés », mais aussi (et surtout, dans le cadre des articles des Chantiers) de présenter une méthode ludique pour s’entraîner en Collège aux techniques algébriques de base : calculs, priorités des opérations, développements, factorisations… jusqu’à la résolution d’équations et même de systèmes.

Dans l’esprit du Sudoku, on donne une grille incomplète et on cherche les nombres manquants, sachant qu’ils vérifient certaines conditions.

Les élèves peuvent ainsi aimer chercher à réussir un défi précis, au-delà de la simple résolution d’un exercice d’algèbre…

Le principe

On écrit un tableau de la façon suivante :

On inscrit quatre nombres dans le carré 2 × 2 central ($a$, $b$, $c$ et $d$), puis deux nombres au-dessus du tableau ($m$ et $n$), puis enfin deux nombres à gauche ($r$ et $s$).

On effectue ensuite les calculs suivants :

$$ (1) = ra + sc \quad (2) = rb + sd \quad (3) = ma + nb \quad (4) = mc + nd $$

Un exemple

Prenons un exemple avec le tableau suivant où nous avons indiqué les calculs à effectuer :

On obtient donc :

On remarquera qu’en permutant les deux lignes du tableau central, ou les deux colonnes, on obtient une situation similaire. On peut donc décider d’écrire dans la case de la première ligne et de la première colonne du tableau central (nombre $a$) le plus petit des quatre nombres $a$, $b$, $c$ et $d$.

De même, une autre solution est obtenue en permutant certains nombres grâce à la symétrie par rapport à la « diagonale $a - d$ », i.e. en permutant $b$ et $c$, $r$ et $m$, et aussi $s$ et $n$. On peut donc décider d’écrire dans la case de la première ligne et de la deuxième colonne du tableau central (nombre $b$) le plus petit des deux nombres $b$ et $c$.

But du problème

On choisit alors les huit nombres $a$, $b$, $c$, $d$, $m$, $n$, $r$ et $s$ parmi une liste de nombres déterminés ou vérifiant certaines conditions (distincts, positifs, entiers, consécutifs…), et on étudie la possibilité que les quatre résultats $(1)$, $(2)$, $(3)$ et $(4)$ soient égaux.

Puisque les quatre calculs doivent donner le même résultat, on ne l’écrira qu’une seule fois, en bas à droite du tableau.

Exercice 1

Voici un exemple où les huit nombres en présence sont les entiers de 1 à 8, utilisés chacun une fois :

Il en existe un autre, sous les mêmes conditions, avec la même somme globale. Quel est-il ?

Exercices 2 et 3

Plaçons-nous dorénavant dans le cas où les huit nombres sont entiers distincts et inclus dans l’ensemble des entiers entre 1 et A, avec A supérieur ou égal à 8, chacun des nombres étant utilisés au plus une fois.

Exercice 2

 
Il y a au moins une solution avec les entiers de 2 à 9.

Quelle est-elle ?


Exercice 3

 
Il y a au moins une solution avec les entiers de 1 à 9, sauf 2.

Quelle est-elle ?


 

Quelques propriétés

On se place dans le cas où les huit nombres sont des entiers tous distincts et strictement positifs. Saurez-vous démontrer les propriétés suivantes ?

1. On ne peut pas avoir $ad - bc = 0$.
    
2. On a toujours $m + n = r + s$.
    
3. $a + d$ et $b + c$ ne sont jamais égaux.
    
4. On rappelle que, par permutation de lignes et de colonnes, on a choisi parmi les quatre nombres du carré central ($a$, $b$, $c$ et $d$), de placer en première ligne et première colonne le plus petit des quatre nombres (i.e. celui noté $a$).
    
   Puis, par symétrie par rapport à la diagonale descendante « $a - d$ », on place en première ligne et deuxième colonne, le plus petit des deux nombres $b$ et $c$, qui va donc se noter $b$.
    
   On conjecture alors que si les huit nombres sont choisis entiers distincts entre 1 et A, et que A fait partie des nombres choisis, alors, sauf exception à préciser (voir exercice 16), on a $c$ = A.
    
   Est-ce vrai ?
    
5. D’autres propriétés sont-elles envisageables ?

Quelques exercices

Pour des entiers entre 1 et 10, voici quelques exercices soumis à votre sagacité :

Existe-t-il d’autres solutions pour huit entiers distincts entre 1 et 10 ?