Avis de recherche du n°194
Rappelons l’avis de recherche du numéro 194 d’octobre 2022 :
Calculer, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, $\sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{n^2(2n+2k+1)}{(n+k)^2(n+k+1)^2}$.
Voici une solution à cet avis, en notant $(S_n)$ cette suite.
Pour se faire une première idée, calculons explicitement $S_1$, $S_2$, $S_3$ :
Pour $n$ = 1, on a donc un seul terme pour la somme :
$S_1$ = $\dfrac{1^2(2 \times 1+2 \times 0 + 1)}{(1+0)^2(1+0+1)^2}$ = $\dfrac{3}{4}$
Pour $n$ = 2, on a 2 termes pour la somme :
$S_2$ = $\dfrac{2^2(2 \times 2+2 \times 0+1)}{(2+0)^2(2+0+1)^2}$ + $\dfrac{2^2(2 \times 2+2 \times 1+1)}{(2+1)^2(2+1+1)^2}$ = $\dfrac{5}{9}$ + $\dfrac{7}{9 \times 4}$ = $\dfrac{27}{9 \times 4}$ = $\dfrac{3}{4}$
Pour $n$ = 3, on obtient encore $\dfrac{3}{4}$ ; c’est un peu plus long mais vérifiez, il n’y a que 3 termes !
On pourrait donc envisager de conjecturer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, $S_n$ = $\dfrac{3}{4}$.
Posons $u = n+k$. On a donc $\dfrac{n^2(2n+2k+1)}{(n+k)^2(n+k+1)^2} = \dfrac{(u-k)^2(2u+1)}{u^2(u+1)^2}$ .
Cette expression est liée à une fonction rationnelle en $u$, de degré 3 sur degré 4. Cherchons sa décomposition en éléments simples : il existe quatre valeurs $a$, $b$, $c$ et $d$, dépendant de $k$, vérifiant pour tout réel $u$ distinct de $0$ et $–1$ :
$$\dfrac{(u-k)^2(2u+1)}{u^2(u+1)^2} = \dfrac{a}{u} + \dfrac{b}{u^2} + \dfrac{c}{u+1} + \dfrac{d}{(u+1)^2}$$
En multipliant les deux membres de l’égalité par $u$ et en faisant tendre $u$ vers l’infini,
on obtient $2 = a+c$ .
En multipliant les deux membres de l’égalité par $u^2$ et en faisant tendre $u$ vers $0$,
on obtient $k^2 = b$.
En multipliant les deux membres de l’égalité par $(u+1)^2$ et en faisant tendre $u$ vers $–1$,
on obtient $-(-1-k)^2 = d$.
Enfin, en remplaçant $u$ par $1$,
on obtient $ \dfrac{3}{4}(1-k)^2 = a + b + \dfrac{c}{2} + \dfrac{d}{4}$.
On a donc $a+c = 2$, $b = k^2$, $d = -(1+k)^2$ et $ \dfrac{3}{4}(1-k)^2 = 2 - c + \dfrac{c}{2} - \dfrac{(1+k)^2}{4}$.
et après quelques calculs, on obtient $c = 2+2k$ et $a = -2k$.
On a donc, pour tout réel $u$ distinct de $0$ et $–1$ :
$$\dfrac{(u-k)^2(2u+1)}{u^2(u+1)^2} = \dfrac{-2k}{u} + \dfrac{k^2}{u^2} + \dfrac{2k+2}{u+1} + \dfrac{-(1+k)^2}{(u+1)^2}$$
On cherche donc la valeur de $S_n = \sum\limits_{k=0}^{n-1} \left( \dfrac{-2k}{n+k} + \dfrac{k^2}{(n+k)^2} + \dfrac{2k+2}{n+k+1} + \dfrac{-(1+k)^2}{(n+k+1)^2} \right)$,
ce que l’on peut écrire ainsi : $S_n = \sum\limits_{k=0}^{n-1} \dfrac{-2k}{n+k} + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \dfrac{k^2}{(n+k)^2} + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \dfrac{2k+2}{n+k+1} + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \dfrac{-(1+k)^2}{(n+k+1)^2}$.
Faisons, pour les deux derniers sigmas, le changement de variable $i = k+1$ et permutons ensuite les deuxième et troisième sigmas.
On a alors $S_n = \sum\limits_{k=0}^{n-1} \dfrac{-2k}{n+k} + \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{2i}{n+i} + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \dfrac{k^2}{(n+k)^2} + \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{-i^2}{(n+i)^2}$.
On remarquera que les termes des deux premiers sigmas, ainsi que ceux des deux derniers, se simplifient presque totalement. Il reste $S_n = \dfrac{-2 \times 0}{n+0} + \dfrac{2n}{n+n} + \dfrac{0^2}{(n+0)^2} + \dfrac{-n^2}{(n+n)^2}$,
i.e. $S_n = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.
Nouvel avis de recherche
Un peu d’arithmétique…
Soit $a$ et $b$ deux entiers.
a) Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
$(P_1)$ $a \equiv 1 \pmod 2$ et $b\equiv a \pmod 3$
$(P_2)$ $a+2b \equiv 3 \pmod 6$
b) Soit $n$ et $p$ deux entiers strictement supérieurs à 1 et premiers entre eux. Soit $c$ un entier. Montrer qu’il existe trois entiers relatifs $u$, $v$ et $w$ tels que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
$(P_1)$ $a \equiv c \pmod n$ et $b\equiv a \pmod p$
$(P_2)$ $ua+vb \equiv w \pmod {n \times p}$
c) Problème ouvert : Qu’en est-il lorsque $n$ et $p$ ne sont pas premiers entre eux ?
Pour cet avis de recherche, ainsi que des compléments sur des avis précédents, écrivez-nous à l’adresse des problèmes des Chantiers.
La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS