Estimation de la 4^e proportionnelle

La recherche de la 4^e proportionnelle se ramène à la résolution d’une équation du type $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ où trois de ces nombres sont connus (avec bien sûr $b$ et $d$ non nuls) et le 4^e inconnu. Pour illustrer la méthode de résolution graphique avec le Fractiomètre, on prend deux exemples. Dans le premier exemple, le nombre inconnu est au numérateur et dans le deuxième exemple le nombre inconnu est au dénominateur.

Exemple 1 : $\frac{4}{3}=\frac{x}{5}$
Pour commencer, on trace le rectangle posé de base 4 et de hauteur 3 et sa diagonale principale. On trace ensuite la droite horizontale qui passe par l’ordonnée (la hauteur) 5. L’intersection de cette droite avec la diagonale principale définit un rectangle posé de hauteur 5 et dont la base correspond à la valeur recherchée de $x$, voir la Figure 54 ci-dessous.

Exemple 2 : $\frac{4}{3}=\frac{6}{x}$
On trace le rectangle posé de base 4 et de hauteur 3 et sa diagonale principale. On trace ensuite la droite verticale qui passe par l’abscisse 6. L’intersection de cette droite avec la diagonale principale définit un rectangle posé de base 6 et dont la hauteur correspond à la valeur recherchée de $x$, voir la Figure 55 ci-dessous.

Résolution des équations du 2^nd degré

La méthode présentée dans la première partie de l’article parue dans le numéro 188 des Chantiers pour la recherche de la racine carrée d’un nombre peut être généralisée pour rechercher les racines d’un polynôme du 2^nd degré. Le cas de la racine carrée devient alors un cas particulier puisque la racine carrée d’un nombre positif $c$ est la solution positive de l’équation $x^2-c=0$.

Ici, on présentera la méthode à suivre pour estimer les deux racines éventuelles d’un polynôme du 2^nd degré en utilisant le Fractiomètre. Pour chercher ses racines et, quitte à diviser par le coefficient de $x^2$, on pourra toujours se ramener à résoudre une équation du type $x^2+bx-c=0$, où $b$ et $c$ sont deux nombres réels. Cette équation pourra être écrite sous la forme : $x(x+b)=c \quad (Eq)$.

Dans la suite, on suppose que $b$ et $c$ sont positifs, les cas avec $b$, $c$ négatifs se faisant de la même manière. On reprend les figures et les notations du paragraphe consacré à l’estimation d’un produit et de la racine carrée, et on trace un rectangle posé de base $B=c$ et de hauteur $H=1$.

Soit $OACD$ un rectangle tel que $OA=B$ et $AC=H$. Soit $E$ un point appartenant à la demi-droite $[AC)$. La demi-droite $[OE)$ coupe $[DC)$ en un point $M$ comme sur la Figure 56 ci-dessous.

Les triangles $OMD$ et $EOA$ étant semblables, au paragraphe « Estimation d’un produit et de la racine carrée » on a établi la relation suivante $DM×AE=B×H \quad (*)$.

Dans notre cas, cette relation s’écrit sous la forme $DM×AE=c \quad (**)$.

Comme dans le paragraphe cité précédemment, en déplaçant le point $E$ sur la demi-droite $[AC)$ le point $M$ se déplace sur la demi-droite $[DC)$. Si le point $E$ va vers l’infini le point $M$ se rapprochera alors de $D$ et $DM$ tendra vers $0$ et si $E$ tend vers $A$ alors le point $M$ tendra vers l’infini.

Il existe alors au moins une position du point $E$ pour laquelle $AE=DM+b$.

Dans cette position, la relation $(**)$ s’écrit alors $DM\times(DM+b)=c$.

En posant $DM=x$, cette dernière relation n’est autre que l’équation $x(x+b)=c$. La position de $M$ détermine alors une solution de l’équation $x^2+bx-c=0$.

Sur la demi-droite $[AC)$, on place le point $F$ d’ordonnée $b$. On a donc $AF=b$. Pour pouvoir parler et étudier d’éventuelles solutions négatives, on supposera que $(AC)$ est un axe d’origine $F$ orienté vers le haut et de même unité que l’axe des ordonnées, on le notera $(FY)$. On supposera également que $(DC)$ est un axe d’origine $D$ orienté de gauche à droite et de même unité que l’axe des abscisses, on le notera $(DX)$.

Avec ces notations, pour que le point $E$ corresponde à la solution du problème, il faut que son abscisse sur l’axe $(FY)$ soit égale à l’abscisse $x$ du point $M$ sur l’axe $(DX)$.

Exemple 3 : $x^2+4x-6=0$
Un exemple pour illustrer la recherche d’une solution de l’équation $x^2+4x-6=0$ avec les Figures 57 et 58 ci-dessous.

Si l’on continue à déplacer le point $M$ vers la droite on ne trouvera pas d’autres solutions. Dans ce cas on va explorer le cas où l’abscisse de $M$ est négative en déplaçant $M$ horizontalement vers la gauche dans le 2^e cadran du plan. On obtient une configuration comme celle décrite par la Figure 59 ci dessous.

Dans cette situation, on utilisera les rapports égaux correspondant aux triangles semblables $MDO$ et $OAE$ sur la figure précédente, on a : $\frac{DM}{DO}=\frac{AO}{AE}$.

Puisque $OD=1$ et $OA=c$, on obtient alors $DM=\frac{c}{AE}$
ou encore $DM\times AE=c$, la même relation $(**)$ vue plus haut.

Ceci veut dire que $DM\times (FE-FA)=c$ ou encore $-DM\times (FA-FE)=c$.

Ce qui est équivalent à $x\times (b-FE)=c$,
où $x$ désigne l’abscisse de $M$ sur l’axe $(DX)$. On rappelle que la valeur de $x$ ici est négative.

La solution de l’équation $(Eq)$ s’obtient alors lorsque la longueur $FE=-x$, c’est-à-dire lorsque l’abscisse de $E$ sur l’axe $(FY)$ est égale à $x$. On déplace alors $M$ jusqu’à ce qu’on obtienne $DM=EF$.

Sur la Figure 60, on montre comment on obtient la solution négative de l’équation $x²+4x-6=0$.

La valeur de $DM$ est d’environ $5,16$. Donc la solution négative est d’environ $-5,16$. Les solutions exactes calculées analytiquement sont $x_1=-2-\sqrt{10}≈-5,16227766$ et $x_2=-2+\sqrt{10}≈1,16227766$.

Exemple 4 : $(x-2)(x-3)=0$
Voici un autre exemple d’une équation à deux solutions de même signe. On prend l’équation $(x-2)(x-3)=0$, c’est à dire $x^2-5x+6=0$. Les Figures 61 et 62 illustrent les positions approximatives de $M$ et $E$ correspondant à la solution.

Si l’on continue à déplacer $M$ vers la droite, on ne trouvera pas de solution. Si l’on déplace cette fois-ci $M$ vers la gauche on remarque que lorsque $M$ sera exactement sur $C$, on obtient une égalité entre $DM$ et $EF$, voir la Figure 63 ci-dessous.

Dans ce cas, on remarque que les abscisses respectives de $M$ et $E$ sur les les axes $(DX)$ et $(FY)$ sont de signes contraires. Cette position de $M$ ne peut pas correspondre à une solution de l’équation $x^2-5x+6=0$.

Pour finir ce paragraphe, prenons encore deux exemples. Un exemple où la solution est unique et un exemple où il n’y a pas de solution réelle.

Exemple 5 : $(x-3)^2=0$
Prenons l’exemple de l’équation $(x-3)^2=0$, c’est à dire $x^2-6x=-9$. La représentation géométrique correspond à la Figure 64 ci-dessous.

Pour trouver les solutions éventuelles de l’équation, on déplace $M$ horizontalement pour avoir $DM=FE$ avec $M$ à gauche de $D$ et $E$ en dessous de $F$ ou bien $M$ à droite de $D$ et $E$ au dessus de $F$ pour avoir des abscisses de même signe sur les axes $(DX)$ et $(FY)$. Il y a deux positions possibles du point $M$ pour lesquelles $DM=FE$.

Une seule position donne des abscisses de même signe, voir les Figures 65 et 66 ci-dessous. Par conséquent, il y a une seule solution à cette équation.

Exemple 6 : $x^2+x+2=0$
Pour le dernier exemple où il n’y a pas de solution réelle on s’attend alors à des positions relatives non adéquates des points $M$ et $E$.

Prenons par exemple l’équation $x^2+x+2=0$, c’est à dire $x(x+1)=-2$. Le discriminant de cette équation est négatif et il n’y pas de solution réelle.

La configuration géométrique de cette équation est décrite par les Figures 67 et 68 suivantes :