Comment placer sur ce cube $ABCDEFGH$ le point $I$ (respectivement $J$ et $K$) sur l’arête $[AB]$ (respectivement $[CG]$ et $[EH]$) pour minimaliser :
a) le périmètre du triangle $IJK$ ?
b) l’aire de ce même triangle ?
Cet Avis de Recherche concernant le périmètre minimum me tenait à cœur depuis de longues années : si j’étais à peu près sûr du résultat je n’avais jamais trouvé la démonstration, car quelque peu dégoûté par les calculs, j’espérais trouver une solution géométrique magique… qui n’est jamais venue.
J’y avais ajouté la recherche de l’aire minimum sans avoir la moindre idée de la solution et en comptant sur la compétence des lecteurs… C’est ça un Avis de Recherche.
Bien entendu pour trouver des idées rien ne vaut une bonne manipulation sur GeoGebra et vous pouvez utilisez la figure préparée à votre intention.
Mais hélas les volontaires n’ont pas été nombreux car je n’ai reçu qu’une réponse, celle du fidèle Couzineau, qui bien qu’incomplète (comme la mienne d’ailleurs), permet d’avancer dans la recherche et peut-être de susciter de nouveaux prolongements…
Solution de Jean Couzineau
I. Étude du périmètre
Les milieux des segments semblent être un bon emplacement. Quelques vérifications sur tableur semblent le confirmer mais, sans autre argument, cela reste une conjecture. Comme le raisonnement géométrique m’échappe, je me rabats avec regret sur les calculs.
On exprime, dans le repère $(D,\overrightarrow{DA}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{DH})$, les coordonnées des points $I(1,y,0)$, $ J (0,1,z)$ et $K (x,0,1)$ avec $x$, $y$ et $z$ éléments de $[0,1]$.
Le périmètre $\mathscr{P}$ du triangle $IJK$ est alors $\mathscr{P} = IJ + JK + IK $ soit : $ \mathscr{P}(x,y,z) = \sqrt{1+(1-y)²+z²} + \sqrt{x²+1+(1-z)²} + \sqrt{(1-x)²+y²+1}$
Il suffirait de montrer que $ \mathscr{P}(x, y, z) – \mathscr{P}(0,5 ; 0,5 ; 0,5) \geqslant 0 $ mais après quelques échecs, je me résous à calculer le gradient de $\mathscr{P}$ : $\overrightarrow{\nabla} \mathscr{P} = \begin{pmatrix} {\displaystyle x \over \displaystyle \sqrt{x²+1+(1-z)²}} + {\displaystyle x-1 \over \displaystyle \sqrt{(1-x)²+y²+1}} \\ {\displaystyle y \over
\displaystyle \sqrt{(1-x)²+y²+1}} + {\displaystyle y-1 \over \displaystyle \sqrt{1+(1-y)²+z²}} \\ {\displaystyle z \over \displaystyle \sqrt{1+(1-y)²+z²}} + {\displaystyle z-1 \over \displaystyle
\sqrt{x²+1+(1-z)²}} \end{pmatrix} $
Les extremums sont parmi les points critiques solutions du système ci-dessous obtenus avec des produits en croix : $ \overrightarrow{\nabla} \mathscr{P} =
\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{rcr} x(\sqrt{(1-x)²+y²+1}) & = & (1-x)(\sqrt{x²+1+(1-z)²}) \\ y(\sqrt{1+(1-y)²+z²}) & = & (1-y)(\sqrt{(1-x)²+y²+1}) \\
z(\sqrt{x²+1+(1-z)²}) & = & (1-z)(\sqrt{1+(1-y)²+z²}) \end{array} \right. $
Puis en élevant au carré, puisque tous les termes sont positifs : $ \overrightarrow{\nabla} \mathscr{P} =
\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{rcr} x²((1-x)²+y²+1) & = & (1-x)²(x²+1+(1-z)²) \\ y²(1+(1-y)²+z²) & = & (1-y)²((1-x)²+y²+1) \\ z²(x²+1+(1-z)²) & = & (1-z)²(1+(1-y)²+z²) \end{array}
\right. $
Le triplet $t_0 ( {1 \over 2} , {1 \over 2}, {1 \over 2} ) $ est une solution du système mais je ne trouve pas de méthode pour déterminer l’ensemble des solutions et donc justifier l’unicité de $t_0$. On calcule ensuite la Hessienne de $\mathscr{P}$ en $t_0$ (je passe le détail des calculs…)
on obtient $H = \begin{pmatrix} b & a & a \\ a & b & a \\ a & a & b \end{pmatrix} $ avec $b = {\displaystyle 5 \sqrt{2} \over \displaystyle 3 \sqrt{3} } $ et $a =
{\displaystyle \sqrt{2} \over \displaystyle 6 \sqrt{3} }$.
La Hessienne est symétrique réelle donc diagonalisable.
Après une recherche dans la littérature mathématique, pour récupérer les valeurs propres d’une matrice circulante, on obtient :
$\lambda_1 = b+2a = \cdots = {\displaystyle 2 \sqrt{2} \over \displaystyle \sqrt{3}} $ et $ \lambda_2 = b – a = \cdots = {\displaystyle \sqrt{3} \over \displaystyle \sqrt{2}} $ avec $ \lambda_1 $ et $ \lambda_2$ strictements positifs.
La matrice Hessienne est donc définie positive et $\mathscr{P}$ admet une minimum local en $t_0$.
Pour montrer, sur le compact $C=[0 ;1]\times[0 ;1]\times[0 ;1]$, que le minimum est global,
– soit l’on montre que$\mathscr{P}(x,y,z) - \mathscr{P}(t_0) \geqslant 0$ (non abouti),
– soit l’on étudie $\mathscr{P}$ aux bords du compact $C$.
Une nouvelle étude laborieuse à la suite d’un raisonnement incomplet (unicité de $t_0$ non garantie) ne me semble pas pertinente.
Je me contenterais d’une conjecture tout en restant convaincu de l’existence d’une méthode plus simple : les vérifications initiales sur tableur conforte l’idée que le minimum de $\mathscr{P}$ serait $ \mathscr{P}(t_0) = 3 \sqrt{\displaystyle 3 \over \displaystyle 2} \approx 3,67423$
II. Étude de l’aire
Avec un logiciel de géométrie, on trouve trois triplets donnant une aire minimale : $(1 ; 0,5 ; 0)$, $(0,5 ; 0 ; 1)$ et $(0 ; 1 ; 0,5)$ dont le premier est illustré ci-contre.
Je ne trouve pas de modélisation satisfaisante pour expliquer ces résultats.
Jean Couzineau
Que dire de plus ?
Personnellement j’avais fait le calcul de l’aire en utilisant le produit vectoriel : $ \overrightarrow{IJ} \otimes \overrightarrow{IK} = \begin{pmatrix} 1-y+yz \\ 1-z+xz \\ 1-x-xy \end{pmatrix} $
dont la norme est égale au double de l’aire du triangle $IJK$ ce qui permet d’écrire que l’aire au carré du triangle vaut : $ \mathscr{A}^2(IJK) = {\displaystyle 1 \over 4} \Vert\overrightarrow{IJ}
\otimes \overrightarrow{IK} \Vert^2 = {\displaystyle 1 \over 4}((1-y+yz)²+(1-z+xz)^2+(1-x+xy)^2) $ $ \mathscr{A}(IJK) = f(x,y,z) = {\displaystyle 1 \over 2} \sqrt{(1-y+yz)²+(1-z+xz)^2+(1-x+xy)^2} $
Donc on constate bien que $ f( 1 , {1 \over 2} , 0 ) = f({1 \over 2} , 0 , 1 ) = f( 0 , 1 , {1 \over 2} ) = \displaystyle \sqrt{3 \over 8} \approx 0,61237 $ comme trouvé avec Géogebra.
Avis de recherche n°8
Désireux de prendre ma retraite de responsable de cette rubrique (pour l’autre retraite c’est hélas déjà fait) je lance un appel aux bonnes volontés pour trouver un remplaçant. Ce n’est pas trop difficile : il suffit tous les 3 mois de trouver un sujet de recherche et ensuite les lecteurs trouvent eux-mêmes la solution (enfin la plupart du temps…).
En attendant voici mon dernier sujet de recherche, issu d’un stage "Chercher, tester, prouver" effectué il y a vingt ans avec Jacques Lubczanski (tonton Lulu pour les intimes…) et que, dans mon souvenir, nous n’avions pas fini de résoudre…
Énoncé de l’avis de recherche n°8 :
Il s’agit de contempler ces 65 exemplaires du même ennéagone "crevette" ci- dessous, de déterminer ses côtés et ses angles et d’utiliser ces résultats pour trouver les pavages possibles du plan avec cette crevette… s’il en existe !
