Des modèles

Dans le n°196 des Chantiers, nous avons évoqué différents modèles permettant d’aborder l’addition des nombres relatifs et nous avions exploré l’utilisation du modèle des pions noirs et blancs avec le code suivant :
représente $+3$
représente $-5$

Pour la soustraction, on peut continuer à utiliser ce modèle qui permet de coller au plus près de l’idée que soustraire, c’est retirer un certain nombre d’objets d’une collection donnée.

Une autre possibilité est d’utiliser le modèle du thermomètre pour aborder la soustraction du point de vue de l’écart entre deux températures.

Avec des pions

Dans un premier temps, quelques exercices (simples, pas besoin de se lancer dans du compliqué, donc avec des nombres entiers pas trop grands), reprenant le travail réalisé avec l’addition des nombres relatifs, devraient permettre aux élèves de se remémorer les différentes situations. Occasion de prendre du recul et de demander aux élèves dans quels cas intervient une addition et dans quel cas intervient une soustraction.

Ensuite, on aborde la soustraction de $+6$ et de $+2$ : on a 6 pions blanc et on enlève 2 pions blancs ; cela ne devrait pas poser de problème aux élèves pour obtenir 4 pions blancs. Ce qui donne :
$(+6)-(+2)$ = $+4$
Ce qu’on peut simplifier :
$(+6)-(+2)$ = $+6-2$ = $+4$

Et en passant aux pions noirs, on obtient la soustraction de $-6$ et de $-2$ (la simplification est sans doute moins évidente pour les élèves) :
$(-6)-(-2)$ = $-6+2$ = $-4$

Pour consolider ces cas, on peut demander aux élèves d’imaginer des situations semblables. La correction permet de se rendre compte si ces situations sont bien comprises, quitte à revenir à l’usage du modèle des pions pour bien comprendre les résultats obtenus.

On peut alors demander aux élèves d’imaginer d’autres cas pour lesquels le travail précédent ne fonctionne plus « comme sur des roulettes ». On peut espérer que certains élèves proposeront d’enlever 2 pions noirs à 6 pions blancs par exemple. Laisser réfléchir un petit moment les élèves à un tel cas devrait peut-être voir émerger des idées pour résoudre ce genre de cas.

En fait, il y a 2 approches possibles pour résoudre ce problème qui paraît impossible de prime abord : comment enlever 2 pions noirs à 6 pions blancs ?

Une de ces approches est de considérer que 6 pions blancs est équivalent à l’ensemble formé par 6 pions blancs, 2 pions noirs et 2 pions blancs :

est équivalent à :

Bien entendu, il est indispensable de demander aux élèves pourquoi ces 2 situations sont équivalentes, ce qui permet de leur faire comprendre comment cela ouvre la possibilité de soustraire 2 pions noirs à 6 pions blancs.

Ce qui donne, symboliquement :
$(+6)-(-2)$ = $(+6)+(+2)+(-2)-(-2)$ = $(+6)+(+2)$ = $+6+2$ = $+8$

On a donc : $(+6)-(-2)$ = $(+6)+(+2)$, ce qui correspond à la deuxième approche que l’on peut faire apparaître dans les cas qui fonctionnent « comme sur des roulettes » : $(-6)-(-2)$ = $(-6)+(+2)$.

Ainsi, soustraire un nombre est équivalent à ajouter son opposé.

Remarque : la mise en évidence de cette règle peut prendre plus de temps que la présentation exposée ci-dessus ; de nombreux exemples de calculs seront nécessaires pour la conforter. Pour cela, on peut demander aux élèves ce qu’il faut ajouter à $+6$ pour soustraire $+2$, ce qui est à la base de l’autre approche possible. On a symboliquement les étapes suivantes : $(+6)-(+2)$ = $(+6)+(-2)$ = $+6-2$ = $+4$ avec les commentaires oraux : « je veux enlever $+2$ à $+6$. En ajoutant $-2$ à $+6$, j’obtiens $+4$, ce qui correspond bien à enlever $+2$.

À noter qu’en simplifiant, on pourra écrire les enchaînements suivants :
$(-6)-(-2)$ = $-6+2$ = $-4$
$(-6)-(+2)$ = $-6-2$ = $-8$

Calculs à rapprocher du modèle utilisant des écarts de températures. Et, dans ce modèle des écarts, il sera plus abordable pour les élèves de partir du calcul de $(+2)-(-6)$. Mentionner l’utilisation des soustractions des nombres relatifs pour calculer des écarts de températures est de toute façon un exercice à proposer aux élèves.

Quelques exercices

De nombreux exercices simples, sur des nombres entiers pas trop grands, seront nécessaires pour que les méthodes précédentes soient bien assimilées, quitte à revenir sur l’utilisation du modèle des pions pour bien comprendre ce qu’il se passe.

Enfin, on pourra combiner des additions et des soustractions. Et montrer que simplifier une somme algébrique se ramène à n’effectuer que des additions ! Comme pour la somme suivante :
$(+4)-(-3)+(-2)$ = $+4+3-2$ = $+7-2$ = $+5$