Solution de l’avis n°1

S’il est vrai que la géométrie est « l’art de raisonner juste sur des figure fausses », par contre lorsque l’on n’a pas d’idées pour faire démarrer le raisonnement, on peut toujours essayer de construire une figure juste en espérant que cela permettra de faire naître des idées…

Le plus difficile est de choisir le point de départ, celui qui nous permettra d’aller le plus loin possible.

Le point $E$ semble un sérieux candidat puisqu’il nous permet de choisir au hasard un point $D$ sur le cercle $\mathscr{C}(E,6)$, puis de construire le point $C$, sur la perpendiculaire à $[ED]$ tel que $DC=8$, puis le point $B$ sur la perpendiculaire à $[CD]$ tel que $CB=10$.

Nous avons déjà 4 sommets : il ne reste plus que le cinquième $A$ à construire !

Or le point $A$ se trouve, d’une part, sur le cercle $\mathscr{C}(E,6)$ et, d’autre part, sur le demi-cercle de diamètre $[EB]$ puisque l’angle $\widehat{BAE}$ est droit [1].

Et maintenant nous pouvons commencer les « calculs » : Pythagore, dans le triangle rectangle $ABE$ nous permettrait de calculer la valeur de $AB$ si nous connaissions celle de $EB$. En construisant le rectangle $EDCD’$ nous obtenons un nouveau triangle rectangle $BED’$ dans lequel Pythagore donne $EB^2=8^2+16^2=320$.

Et alors, dans le triangle rectangle $ABE$ : $AB^2=320-6^2=284$ donc $AB$ = $2\sqrt{71}$

Bien entendu, il n’était pas nécessaire de construire une figure correcte si on a l’idée de faire apparaître le rectangle $EDCD’$ : le théorème de Pythagore peut alors nous fournir $EB$ en utilisant le triangle rectangle $BED’$ puis $AB$ à l’aide du triangle rectangle $ABE$, comme nous l’avons fait ci-dessus.

En fait cette figure est riche de questions. Par exemple :

1. Quelle est l’aire de ce pentagone ?
2. Quelle est la nature du triangle $EBC$ ?
3. $(DC)$ coupant $(AB)$ en $F$, quelle est la nature du quadrilatère $AEDF$ ?

Et peut-être d’autres ? À vous de nous dire si cette situation vous inspire d’autres questions.

Cet avis n°1 que nous vous avons proposé fait partie d’une collection de problèmes que l’on peut trouver sur le site « Mind YourDecisions » de Presh Talwalkar : vous y trouverez votre bonheur et des idées de problèmes à proposer à la sagacité de vos élèves.

Solution de l’avis n°2

Lorsqu’il est question de partager un disque en parts égales, on a tous l’image des parts de tarte et des polygones réguliers.

Or, dans cet avis, il n’est pas question de parts superposables mais de parts de même aire, ce qui ouvre la porte à d’autres formes que les secteurs traditionnels.

Par exemple, pour un partage en deux parts de même aire, et de même périmètre, on a cette figure réalisée avec des demi-disques, figure bien connue :

On peut poursuivre dans cette voie, avec 3 parts de même aire, et de même périmètre :

Pour construire cette figure, on a partagé un diamètre en 3 parts égales (à l’aide du théorème de Thalès), puis on a construit des demi-cercles. Procédé de construction généralisable pour obtenir, à la règle et au compas, un partage en $n$ parts.

Montrons que les 3 parts ont la même aire, en prenant 6 unités pour le diamètre du disque.

Deux des parts sont, d’évidence, égales car formées d’un demi-disque de diamètre 2 unités et d’une surface qui est obtenue par la différence entre un demi-disque de diamètre 6 unités et d’un demi-disque de diamètre 4 unités.
$\mathscr{A}_1$ = $\mathscr{A}_3$ = $\frac{1}{2}\times\pi×(1^2+3^2-2^2)$ = $3\pi$

La surface centrale est donc la différence entre le disque et la somme des deux autres parts.
$\mathscr{A}_2$ = $\pi\times3^2 - 2\times3\pi$ = $9\pi - 6\pi$ = $3\pi$

donc, $\mathscr{A}_1$ = $\mathscr{A}_2$ = $\mathscr{A}_3$

Remarque : le disque a pour aire $\pi\times3^2$ = $9\pi$ et pour un tiers, on obtient $3\pi$ comme il a été calculé.

De même, calculons le périmètre de chaque part.

$\mathscr{P}_1$ = $\mathscr{P}_2$ = $\pi\times1 + \pi\times3 + \pi\times2$ = $6\pi$ et $\mathscr{P}_3$ = $2\times(\pi\times1+\pi\times2)$ = $6\pi$

donc les 3 parts ont aussi le même périmètre.

Remarque : les chemins qui vont de la première extrémité du diamètre à la deuxième extrémité ont la même longueur donc chaque part a un périmètre double de cette longueur commune qui est d’ailleurs le périmètre du disque initial.

Ces 2 remarques nous permettent de bien comprendre ce qu’il se passe dans le cas général avec un partage en $n$ parts ; on prendra un disque de diamètre $2n$ pour faciliter les calculs.

Ainsi, pour la part n°$k$, $k$ entier compris entre $1$ et $n$ :
$2\mathscr{A}_k$ = $\pi\times k^2 - \pi\times (k-1)^2 + \pi\times (n-(k-1))^2 - \pi\times (n-k)^2$
$2\mathscr{A}_k$ = $\pi\times ( k^2 - (k-1)^2 ) + \pi\times ( (n-k+1)^2 - (n-k)^2 )$
factorisons les différences de carrés :
$2\mathscr{A}_k$ = $\pi\times ((k+(k-1))(k-(k-1)) + (n-k+1+(n-k))(n-k+1-(n-k)))$
et, après simplification, on obtient $\mathscr{A}_k$ = $n\pi$

Or, l’aire du disque est $\pi\times n^2$ = $n^2\pi$ donc, en partageant en $n$ parts de même aire, l’aire d’une part est égale à $n\pi$ : cela correspond à la valeur calculée pour la part n° $k$. On a donc bien un partage en parts de même aire.

Calculons maintenant la longueur du chemin n° $k$ d’une extrémité à l’autre d’un diamètre, chemin constitué de deux demi-cercles de rayons $k$ et $n-k$, $k$ entier compris entre $0$ et $n$ [2] :
$\mathscr{L}_k$ = $\pi\times k + \pi\times (n-k)$ = $\pi\times (k+n-k)$ = $n\pi$
ainsi, tous les chemins ont la même longueur et, comme le périmètre de chaque part est formé de 2 chemins, ce périmètre est égal à $2n\pi$. On a donc en prime un partage en parts de même périmètre qui est d’ailleurs le périmètre du disque.

Pour le plaisir, voici les partages en 4, 5, 6 et 7 parts, « à la règle et au compas » ; il suffit de partager un diamètre en 4, 5, 6 ou 7 parts et de tracer des demi-cercles :

Peut-on imaginer d’autres partages du disque, toujours avec la contrainte d’avoir des parts de même aire (la contrainte d’avoir le même périmètre n’étant pas une obligation), si possible réalisables à la règle et au compas ? Nous explorerons ces autres possibilités dans le n°198 des Chantiers : faites-nous part de vos recherches estivales !