Une situation-problème célèbre

À partir d’une idée originale de Guy Brousseau) utiliser un puzzle permet de remettre en question le modèle additif (pour agrandir, l’addition s’impose) et de comprendre le lien entre proportionnalité et agrandissement/réduction.

J’avais découvert cette situation-problème dans l’ouvrage « apprentissages mathématiques en 6^e » ERMEL, Hatier 1991 : il s’agissait d’un puzzle de 4 pièces (un rectangle, un triangle rectangle et deux trapèzes) formant un carré ; le but est d’agrandir chaque pièce selon une contrainte pour reconstituer le puzzle mais agrandi.

Cet ouvrage propose un travail par groupe de 4 élèves, chaque groupe ayant une photocopie du puzzle initial (différent de celui proposé par G. Brousseau) avec ses dimensions et celles des 4 pièces le composant :

Les élèves doivent découper les 4 pièces et noter sur chaque pièce ses dimensions. La consigne est donnée par le professeur : « J’ai fait un agrandissement de ce puzzle, le voici. Par groupe, vous devez réaliser le même agrandissement ; chaque élève doit agrandir sa pièce. Attention, à la fin, il faut pouvoir reconstituer le puzzle avec les pièces agrandies. Je vous dis seulement que ce côté qui mesure 4 cm doit mesurer 6 cm sur le puzzle agrandi. »

Adaptation et évolution

Pendant longtemps, j’ai suivi à la lettre cette organisation avec cependant une insatisfaction dans la remise en question du modèle additif chez certains élèves qui, petits malins, trouvent un moyen de contourner la consigne en réalisant le carré agrandi puis en le découpant pour obtenir les 4 pièces… qui, forcément, donnent bien un puzzle carré.

J’ai alors imaginé une modification dans l’organisation et dans la forme des pièces du puzzle, en prenant des rectangles pour les quatre pièces.

Et je ne donne plus le puzzle initial mais les dimensions des 4 rectangles : les élèves doivent les construire, les découper et reconstituer le puzzle sachant que c’est un carré (ce qui est loin d’être facile pour tous les élèves).

Une fois le premier puzzle obtenu, ils doivent réaliser le même travail mais avec des pièces agrandies de sorte que le côté mesurant 4 cm devienne 7 cm : là aussi, petite modification par rapport aux valeurs de l’ouvrage, modification qui m’a été suggérée par la lecture d’un autre ouvrage proposant des situations-problèmes dont un agrandissement d’une photo rectangulaire mesurant 2 cm par 4 cm ; il s’agit de « mathématique dynamique », Annie Berté, Nathan, 1993.

Voici les consignes données aux élèves :

1. Reproduire les 4 rectangles suivants :
   A : 4 cm × 6 cm B : 6 cm ×12 cm
   C : 2 cm × 8 cm D : 4 cm × 8 cm
    
2. Les découper et les assembler pour réaliser un carré
    
3. On agrandit les 4 rectangles de sorte que 4 cm devienne 7 cm :
   reproduire les 4 rectangles agrandis et les nommer A’, B’, C’ et D’
    
4. Les découper et les assembler pour réaliser un carré agrandi

Avec cette organisation, lorsque les élèves utilisent un modèle additif, la conséquence sur le puzzle agrandi saute aux yeux avec des pièces qui ne s’agencent plus comme dans la reconstitution du puzzle initial. Et je n’ai plus eu le cas des petits malins qui partent d’un carré agrandi pour le découper…

Une fois que chacun s’est confronté au problème et, pour certains, ont trouvé une solution en utilisant la proportionnalité (ce qui peut se manifester sous diverses formes) , une analyse est faite sur les différentes méthodes utilisées par les élèves et il apparaît pour tous que, si on veut agrandir sans déformation, le modèle de la proportionnalité s’impose (toutes les méthodes permettant l’agrandissement sans déformation sont des variantes de la proportionnalité) ; tout autre modèle agrandit mais avec des déformations [1].

Bien entendu, les habitudes ont la vie dure et si on a vu que le modèle additif ne fonctionne pas, il n’est pas facile de l’abandonner : le temps, plus ou moins long selon les élèves, est nécessaire. D’ailleurs, je donne la même situation-problème en 3^e et un nombre non négligeable d’élèves utilisent encore le modèle additif…