Avis de recherche du n°190

Rappelons l’avis de recherche du numéro 190 d’octobre 2021 :

Voici une solution à cet avis.

Soit $t$ un réel non nul.
La tangente $(T)$ à l’hyperbole $(H)$ au point $T$ d’abscisse $t$ a pour équation :

$$y = -\dfrac{1}{t^2}(x - t) + \dfrac{1}{t}$$

Soit $n$ un réel non nul. La normale $(N)$ à $(H)$ au point $N$ d’abscisse $n$ a donc comme coefficient directeur l’opposé de l’inverse de $-\dfrac{1}{n^2}$, donc $n^2$.
Mais comme $(T)$ et $(N)$ doivent être perpendiculaires,
on a donc $n^2 \times \left(-\dfrac{1}{t^2}\right) = − 1$ , donc $n^2 = t^2$.
Comme $T$ et $N$ doivent être distincts, on a donc $n = -t$.
$N$ est donc le symétrique de $T$ par rapport à l’origine $O$, ce qui est dû au fait que $(H)$ est symétrique par rapport à $O$.

Une équation de $(N)$ est $y = n^2 ( x − n ) + \dfrac{1}{n}$ donc $y = t ^2( x + t ) - \dfrac{1}{t}$.

Les coordonnées de $M$, point d’intersection de $(T)$ et de $(N)$, vérifient :

$$\left\{ \begin{array}{rcr} y & = & -\dfrac{1}{t^2}(x - t) + \dfrac{1}{t} \\ y & = & t ^2( x + t ) - \dfrac{1}{t} \end{array} \right. \quad t \in \mathbb{R}^*$$

$$\left\{ \begin{array}{rcr} x & = & \dfrac{t(3 - t^4)}{t^4 + 1} \\ y & = & \dfrac{3t^4 - 1}{t(t^4 + 1)} \end{array} \right. \quad t \in \mathbb{R}^*$$

Reste à déterminer s’il s’agit d’une courbe historique : saurez-vous nous le dire ?

Nouvel avis de recherche

Pour cet avis de recherche, ainsi que des compléments sur des avis précédents, écrivez-nous à l’adresse des problèmes des Chantiers.
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