J’enseigne la bureautique et les mathématiques à l’IUT [1] de Cergy pour le B.U.T. [2] Management de la Logistique et des Transports [3].
Pour le semestre 5, le programme national indique :
Techniques quantitatives et recherche opérationnelle :
programmation linéaire (10 heures, évaluations comprises)
Utilisation d’outils d’aide à la décision dans un souci d’optimisation globale des flux physiques et informationnels, Formalisation, modélisation et résolution des problèmes liés à des situations logistiques et de transport :
— Programmation linéaire : modélisation mathématique, résolution graphique, résolution à l’aide d’un solveur, analyse de sensibilité
— Application à la logistique et au transport
Ces notions s’appuient sur les acquis du semestre 1 :
Mise en équation et résolution : d’équations premier et deuxième degré, de systèmes d’équations du premier degré.
Puisque la résolution graphique est exigible au semestre 5, je prends le temps en première année d’étudier les équations de droites, d’autant qu’elle apparaissent aussi au semestre 2 dans cette partie du programme :
Séries chronologiques
— Techniques de prévision (avec ou sans saisonnalité)
Mes étudiants ont tous les profils possibles : bac pro, bac STMG, STI2D, bac général sans aucune spécialité scientifique, bac général avec maths complémentaire ou spécialité maths.
Pour les systèmes d’équations du premier degré, j’utilise cette situation :
Exercice 1
- Table n°1 :
3 sodas et 4 cafés. L’addition est de 12 €. - Table n°2 :
5 sodas et 4 cafés. L’addition est de 16 €. - Table n°3 :
2 sodas et 1 café. Quel est le montant de l’addition ?
Je leur annonce que nous allons utiliser trois méthodes pour déterminer ce que payera la table 3.
Et je dessine les trois tables :
En général au moins un étudiant dit :
la table 2 a deux sodas de plus que la table 1 pour quatre euros de plus donc un soda coûte deux euros. On en déduit que quatre cafés coûtent six euros, qu’un café coûte 1,50 euros et que la table 3 payera 5,50 euros.
Je leur dis que cela revient à faire : « table 2 moins table 1 ».
Nous passons ensuite à la mise en équations. Pour le choix des noms des inconnues, je leur explique que j’utilise $x$ et $y$ pour que le lien avec les équations de droite soit plus aisé.
On note $x$ le prix d’un soda et $y$ le prix d’un café. Les informations des tables 1 et 2 donnent le système :
$\begin{cases}
3x+4y=12 \\[0.3cm]
5x+4y=16
\end{cases}$
Je leur explique qu’on va faire « ligne 2 moins ligne 1 » qui correspond au « table 2 moins table 1 » précédent.
$\begin{cases} 3x+4y=12 \\[0.3cm] 5x+4y=16 \end{cases}$
$2x=4$
puis $x=2$
Je fais remarquer que nous avons utilisé le fait qu’il y avait autant de cafés sur les tables 1 et 2.
Je leur annonce ensuite que nous souhaitons maintenant créer une situation où il y ait autant de sodas pour deux groupes de consommateurs.
Je prends le temps de leur rappeler rapidement la technique d’addition de deux fractions de dénominateurs différents.
Souvent un étudiant propose de multiplier la première ligne par 5 et la deuxième par 3.
Je leur dis d’imaginer que nous avons cinq tables de type 1 et trois tables de type 2. Il y a alors deux groupes de consommateurs avec 15 cafés chacun.
$\begin{cases} 3x+4y=12 \\[0.3cm] 5x+4y=16 \end{cases}$
$\begin{cases} 15x+20y=60 \\[0.3cm] 15x+12y=48 \end{cases}$
Les membres de droite, 60 et 48, ont un sens concret, c’est le prix payé en euros par chacun des deux groupes de consommateurs.
Nous faisons « ligne 1 moins ligne 2 ».
D’où $8y=12$ et donc $y=1,5$.
La troisième méthode consiste à obtenir l’équation réduite de deux droites (tâche difficile pour mes étudiants), à tracer très précisément les deux droites dans un repère et à lire les coordonnées du point d’intersection.
L’outil "équation de droite" n’est pas réinvesti en deuxième année où sont abordés les probabilités, les statistiques inférentielles et la théorie des graphes.
Nous retrouvons les systèmes et les droites au semestre 5 :
Une couturière fabrique deux modèles de sacs en tissu : des sacs de voyage et des sacs à dos.
Chaque jour, elle dispose de 18 mètres de tissu et travaille 8 heures.
Elle produit au maximum 4 sacs de voyage par jour.
Un sac de voyage nécessite 3 mètres de tissu et 1 heure de travail.
Un sac à dos nécessite 2 mètres de tissu et 1 heures de travail.
Combien de sacs de chaque modèle peut-elle produire ?
On note $x$ le nombre de sacs de voyage et $y$ le nombre de sacs à dos.
tissu utilisé = $3x+2y$ et temps utilisé = $x+y$
liste des contraintes :
$\begin{cases}
3x+2y \leqslant 18\\[0.1cm]
x+y \leqslant 8 \\[0.1cm]
x \leqslant 4 \\[0.1cm]
x \geqslant 0 \\[0.1cm]
y \geqslant 0
\end{cases}$
La zone non hachurée indique les quantités de sacs qu’on peut produire.
| sacs de voyage | sacs à dos | oui/non | il manque |
|---|---|---|---|
| 2 | 4 | oui | |
| 4 | 5 | non | tissu et temps |
| 3 | 2 | oui | |
| 1 | 7 | oui | |
| 3 | 5 | non | tissu |
| 0 | 9 | non | temps |
Si le bénéfice de la couturière est de 50 euros sur chaque sac de voyage et 40 euros sur chaque sac à dos, on trace les droites de coefficient directeur $m$ = $-\dfrac{50}{40}$ = $-\dfrac{5}{4}$
Conclusion :
Si le bénéfice de la couturière est de 50 euros sur chaque sac de voyage et 40 euros sur chaque sac à dos, elle obtiendra un bénéfice maximal en fabriquant 2 sacs de voyages et 6 sacs à dos.
Si le bénéfice de la couturière est de 80 euros sur chaque sac de voyage et 40 euros sur chaque sac à dos, on trace les droites de coefficient directeur $m$ = $-\dfrac{80}{40}$ = $-2$
Conclusion :
Si le bénéfice de la couturière est de 80 euros sur chaque sac de voyage et 40 euros sur chaque sac à dos, elle obtiendra un bénéfice maximal en fabriquant 4 sacs de voyages et 3 sacs à dos.
Des vidéos sur les équations de droites :
- Tracer une droite, méthode n°1
- Tracer une droite, méthode n°2
- Lire graphiquement une équation de droite
Le TP du semestre 2 :
la feuille du TP
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mon cours de programmation linéaire
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