Des modèles

Je ne me souviens pas exactement comment j’introduisais l’addition des relatifs quand j’ai commencé à enseigner. Peut-être à l’aide du modèle de l’ascenseur tel que le décrit Françoise Chaumat dans « Ascenseur pour les relatifs », article paru dans les Chantiers n°80 de janvier 1993.

Puis, après une formation proposée par l’IREM de Paris dont je ne me souviens plus la date mais je pense qu’une partie utilisait le travail effectué par l’IREM de Poitiers sur les nombres relatifs, j’ai utilisé un modèle basé sur des déplacements sur une ligne, vers la droite et vers la gauche, déplacements représentés par un segment flêché, ce qui permet une familiarisation à la notion de vecteur qui était au programme en 3^e, sans dire bien entendu qu’il s’agissait de vecteurs puisque nous n’étions qu’en 5^e. Dans ce modèle, additionner deux déplacements est tout simplement les mettre l’un à la suite de l’autre.

Un déplacement vers la droite correspond à un nombre positif et un déplacement vers la gauche à un nombre négatif, avec un point de départ et un point d’arrivée. Je pense qu’il n’est pas nécessaire que je détaille comment utiliser ce modèle pour l’introduction de l’addition des nombres relatifs : quelque soit le modèle utilisé on additionne d’abord uniquement des nombres positifs puis uniquement des nombres négatifs et enfin à la fois des nombres positifs et des nombres négatifs ; pour cette dernière étape, on peut d’ailleurs attendre que des élèves la mentionnent, ce qui ne manque jamais d’arriver, et leur demander de proposer comment on pourrait la mettre en œuvre. Voir ci-dessous avec le modèle analysé dans cet article.

Enfin, aux environ des années 2010, j’ai commencé à utiliser le modèle des pions noirs et des pions blancs, tel qu’il a été décrit par Gilles Jobin dans ses jobineries en 2005. Jean-Jacques Dhénin en a réalisé une vidéo, avec son fils Sacha, et m’a donné l’autorisation de la publier, ce que j’ai fait sur le site du Collège Jean-Monnet à Briis-sous-Forges.

Un conseil, n’utilisez cette vidéo que pour remémoriser la méthode, juste avant d’aborder la soustraction, et en n’en regardant que la première partie qui correspond à l’addition ; le passage par la manipulation me paraît essentiel avant d’en être simple spectateur.

Cette méthode m’a permis de réfléchir à ce qu’est fondamentalement une addition : mettre ensemble des objets, les uns à côté des autres pour obtenir un nouvel objet qui en est la réunion. Ainsi, on peut, sans aucun problème, additionner des torchons et des serviettes, contrairement aux idées reçues… reste que pour « calculer » quelle valeur donnée à ce nouvel ensemble, il est nécessaire de trouver un élément commun qui dans beaucoup de cas s’exprime par une conversion, une réduction à un dénominateur commun…

À noter que lors de l’introduction des nombres relatifs avec mes élèves, j’utilise un exercice basé sur des carrés magiques dont vous trouverez la description dans le n°167 des Chantiers (décembre 2015) ou dans le n°45 de PLOT (1^er trimestre 2014), avec déjà une addition de nombres relatifs. Une idée que je n’ai pas explorée serait d’utiliser des carrés magiques pour aborder les différents cas à détailler pour l’addition des nombres relatifs mais je ne suis pas sûr qu’elle soit bien adaptée pour cela. À réserver pour des exercices de toute façon.

Avec des pions

On a donc des pions noirs et des pions blancs, soit réellement en prenant des pions d’un jeu de Go ou d’un autre jeu, soit dessinés sur le cahier, ce qui permet de bien comprendre le lien proposé avec les nombres relatifs :

représente $+3$
représente $-5$

N.B. : on peut les dessiner « en vrac » et non pas alignés comme ici ou par la suite, alignement qui est plus simple pour la mise en page dans cet article. Les dessiner « en vrac » permet de les regrouper plus facilement, ce qui sera très utile pour comprendre les opérations faisant intervenir à la fois des nombres positifs et des nombres négatifs, ainsi que certaines simplifications qui correspondent à des regroupements.

Additionner, c’est mettre les objets les uns à côté des autres. Ainsi, si on additionne 2 pions blancs et 5 pions blancs, on aura :

Représentation de cette opération : $(+2)+(+5)$, ce qui permet de comprendre que $(+2)+(+5) = +7$ par une relecture de la situation obtenue.

On peut d’ailleurs simplifier les écritures : $+2+5 = +7$ et écrire, avec une étape de simplification : $(+2)+(+5) = +2+5 = +7$

Ensuite, on procède de même avec l’addition de pions noirs : additionner 3 pions noirs et 4 pions noirs par exemple :

Représentation de cette opération : $(-3)+(-4)$

Et on obtient, avec l’étape de simplification :
$(-3)+(-4) = -3-4 = -7$

Une fois cela établi, on peut demander aux élèves de s’entraîner avec soit des pions blancs ou soit des pions noirs. Après avoir corrigé quelques exemples issus de cet entraînement, il est à parier que les élèves poseront la question de savoir ce qu’il se passe si on additionne des pions blancs avec des pions noirs [1].

Ainsi, 2 pions blancs et 5 pions noirs.

On peut demander aux élèves comment procéder. Si l’idée n’est pas proposée spontanément, on peut la susciter en demandant ce que donnerait l’addition d’un pion blanc et d’un pion noir, en passant par la représentation $+1-1$ si elle n’apparaît toujours pas.

On aurait donc la situation en regroupant des couples de pions noir et blanc, et donc  ; l’idée étant qu’un pion noir et un pion blanc s’annulent.

Représentation de cette opération : $(+2)+(-5) = +2-5 = -3$

Si nécessaire, on peut ajouter une étape en décomposant $-5$ en $-2-3$ : $(+2)+(-5) = +2-5 = +2-2-3 = -3$ ; cette étape peut être oralisée pour la ranger dans ce qui est de l’ordre du calcul mental.

Une fois ce premier exemple compris, on peut demander aux élèves de s’entraîner, éventuellement par petits groupes, puis d’en faire la correction en examinant quelques situations proposées par les élèves. Le temps d’en garder la trace dans le cahier de cours est ainsi venu, puis de s’exercer dans des situations plus complexes et variées.

Ne pas hésiter à conseiller aux élèves de dessiner des pions noirs et blancs s’ils en éprouvent le besoin, notamment en cas d’erreur pour contrôler les opérations à l’aide du modèle.

Quelques exercices

Il n’est pas très difficile de proposer des exercices de calcul, en demandant l’étape de simplification, comme dans cet exemple : $(+9)+(-6) = +9-6 = +3$. À ce sujet, certains élèves pourront écrire : $(+9)+(-6) = 9-6 = 3$, et je vous conseille de ne pas exiger cette ultime simplification, y compris plus tard au cours de l’année.

Ne pas oublier des cas tels que $(+2)+(-2)$, de proposer aussi des expressions avec plusieurs additions telle que $(+5)+(+2)+(-6)+(+1)+(-7)$ par exemple.

Au sujet de cette expression, on pourra demander aux élèves s’ils ne voient pas un « raccourci de calcul », ce qui pourrait être présenté comme ceci, en simplifiant les écritures :
(+5)+(+2)+(-6)+(+1)+(-7) = +5+2-6+1-7 = +7-6+1-7 = +7-7-6+1 = -6+1 = -5

Des collègues ont mis au point des exercices, parfois sous forme de jeux, qui sont des occasions de diversifier les approches pour les élèves ; par exemple les vidéos proposées par Roland Dassonval sur sa chaîne Youtube pour calculer avec les relatifs.

Une fois l’addition bien comprise, on pourra aborder la soustraction, ce qui sera l’objet d’un article dans les prochains Chantiers.