Le cercle des configurations disparues
Article mis en ligne le 29 juin 2020
dernière modification le 30 mai 2020

par Dominique Baroux, Martine Bühler, Nathalie Chevalarias

La notion de tangente au cercle, auparavant enseignée en classe de cinquième, a disparu des programmes du cycle 4 suite à la réforme des collèges entrée effectivement en vigueur dans toutes les classes du collège à la rentrée 2016.

Brièvement réapparue dans l’aménagement du programme de la classe de seconde du lycée général et technologique pour l’année 2018-2019, cette notion a définitivement disparu des programmes de lycée à la rentrée 2019.

Dans un programme où l’histoire des mathématiques est mise en valeur, ne pas avoir fréquenté la notion de tangente au cercle avant d’aborder l’étude de la dérivation et l’apprentissage de la notion de tangente à une courbe de manière plus générale, pose problème. En effet, les recherches de tangentes et de quadratures sont une des motivations essentielles des travaux du XVIIe siècle qui conduiront à la naissance du calcul différentiel et à l’analyse ; la connaissance des tangentes sur des formes familières (comme le cercle ou la parabole) ne suffisant pas pour être appliquée à des courbes quelconques, de nouvelles méthodes se sont mises alors en place. Ainsi, la non connaissance de la tangente à un cercle pour un élève de seconde peut l’empêcher de mieux comprendre un des enjeux du passage à la notion de dérivée en première.

Cette disparition fait apparaître dans les programmes et les manuels quelques curiosités.

On trouve par exemple, dans le programme de spécialité de première générale, comme exemple d’algorithme, « Approximation de $$$ \pi$$$ par la méthode d’Archimède » (sic), alors que cette méthode utilise des polygones réguliers circonscrits à un cercle.

On trouve dans certains manuels des problèmes de géométrie faisant intervenir les tangentes à un cercle, sans pour autant que la notion y soit définie.

On y voit aussi des exercices où on passe par des triangles rectangles (dont l’existence n’est pas justifiée) pour éviter de parler de tangente, mais pour pouvoir utiliser l’angle droit entre la droite donnée et un rayon du cercle. On peut dire que certaines situations peuvent alors perdre un peu de leur sens.

Enfin, paradoxalement, à côté de cette disparition, la notion de plan tangent à une sphère apparaît en terminale. Comment s’appuyer sur les connaissances de l’élève pour visualiser dans l’espace ce qu’il n’a pas appris dans le plan ?

On peut noter aussi une autre disparition regrettable : le lien entre triangle rectangle et cercle. En effet, la démonstration du fait que si, le point $$$ C$$$ appartient au cercle de diamètre $$$ [AB]$$$, alors le triangle triangle $$$ ABC$$$ est rectangle en $$$ C$$$, et de la réciproque de cette proposition, est pourtant assez simple si on connaît la propriété caractéristique des diagonales d’un rectangle (disparue aussi !), et figurait souvent comme exercice de révision dans les anciens manuels de seconde.

Du coup, quelques préconisations peuvent s’avérer dans la pratique embarrassantes pour les enseignants. Il est ainsi précisé dans l’item d’histoire des mathématiques de la partie « Géométrie » du programme de mathématiques de première générale : « Les cercles font partie des plus vieux objets mathématiques. La caractérisation du cercle de diamètre $$$ [AB]$$$ comme ensemble des points $$$ M$$$ tels que le triangle $$$ AMB$$$ soit rectangle en $$$ M$$$ semble remonter à Thalès », mais il ne s’agit là ni d’un contenu du programme, ni d’une capacité exigible. Et pourtant, parmi les démonstrations exigibles en spécialité de la classe de première générale figure : « Ensemble des points M tels que (démonstration avec le produit scalaire) ».

Il semble important que les collègues de lycée tiennent compte de ces disparitions, pour pouvoir donner aux élèves, même brièvement, les connaissances nécessaires pour aborder des exercices éventuellement préconisés par les programmes (« méthode d’Archimède ») ou paraissant intéressants pour la formation des élèves, ou également, pour mettre en évidence « le rôle central de la géométrie dans la naissance de l’idée de démonstration » comme le suggère le programme de seconde.

 

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Les Chantiers de Pédagogie Mathématique n°185 juin 2020
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