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Problèmes à résoudre
Article mis en ligne le 16 janvier 2019

par Michel Suquet, Alain Bougeard

Dans certains des numéros des Chantiers, des problèmes apparaissent sans qu’aucune solution ne soit proposée par la suite.

En voici quelques-uns. Saurez-vous les résoudre ? Pour cela il suffit de cliquer sur l’enveloppe qui vous permet de nous envoyer votre solution.

 

PB 1 dans les Chantiers n° 35 (Roger Cuculière)
Soient $$$a$$$ et $$$b$$$ deux entiers naturels premiers entre eux. Soit $$$S$$$ la partie stable de $$$(\mathbb{N},+)$$$ engendrée par $$$a$$$ et $$$b$$$. Montrer que $$$S$$$ contient tous les entiers naturels à partir d’un certain d’entre eux, $$$n_0$$$, que l’on calculera en fonction de $$$a$$$ et $$$b$$$.

 

PB 2 dans les Chantiers n° 35 (Roger Cuculière)
Soit un quadrilatère convexe $$$ABCD$$$. On donne les angles $$$\widehat{BAC}$$$ = 60°, $$$\widehat{CAD}$$$ = 20°, $$$\widehat{ABD}$$$ = 50°, $$$\widehat{DBC}$$$ = 30°. Calculer l’angle $$$\widehat{ACD}$$$. 

 

PB 3 dans les Chantiers n° 35 (Roger Cuculière)
Un train parcourt un certain trajet à une vitesse moyenne de 100 km/h. Il peut accélérer, ralentir, s’arrêter, mais on supposera qu’il ne fait jamais marche arrière. La durée du trajet, en heures, est égale à $$$t$$$ (nombre réel positif). Pour quelles valeurs de $$$t$$$ peut-on être certain qu’il existe durant le trajet un laps de temps de une heure pendant laquelle le train a parcouru exactement 100 km ? 

 

PB 4 dans les Chantiers n° 38 (auteur inconnu)
$$$n$$$ roues dentées sont emboîtées de façon à former une chaîne fermée. On essaye de faire tourner l’une des roues. Le système se mettra-t-il en mouvement ? 

 

PB 5 dans les Chantiers n° 39 (auteur inconnu)
Quel est le maximum de l’aire d’un triangle inscrit dans un cercle de rayon $$$R$$$ ?

 

PB 6 dans les Chantiers n° 39 (auteur inconnu)
Quel est le maximum de l’aire d’un triangle inscrit dans un parallélogramme d’aire $$$A$$$ ?

 

PB 7 dans les Chantiers n° 39 (auteur inconnu)
Quel est le maximum de l’aire d’un rectangle inscrit dans un triangle d’aire $$$A$$$ ? 

 

PB 8 dans les Chantiers n° 97 (Michel Suquet)
Un triangle ABC étant donné, est-il possible de construire deux cercles de même rayon tangents entre eux et chacun à deux côtés du triangle ? Est-ce possible avec 3 cercles de même rayon ?

 

PB 9 dans les Chantiers n° 128 (Michel Suquet)
Une démonstration de l’irrationalité de $$$\sqrt{2}$$$ utilisant l’écriture décimale est la suivante :
Supposons que $$$\sqrt{2}$$$ soit rationnel : il existe donc 2 entiers $$$m$$$ et $$$n$$$ tels que $$$\sqrt{2} = \dfrac{m}{n}$$$ avec $$$m$$$ et $$$n$$$ premiers entre eux. On a donc $$$2n^2 =m^2$$$.
L’écriture décimale d’un carré ne peut se terminer que par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9 et l’écriture de son double que par 0, 2 ou 8.
Comme $$$2n^2 =m^2$$$ l’écriture de $$$m^2$$$ (et par conséquent celle de $$$m$$$) ne peut se terminer que par 0. Si l’écriture de $$$2n^2$$$ se termine par 0, celle de $$$n^2$$$ (et donc celle de $$$n$$$) se termine par 0 ou 5.
Ce qui montre que $$$m$$$ et $$$n$$$ sont divisibles par 5 et cela conduit à une contradiction avec $$$m$$$ et $$$n$$$ premiers entre eux.

N.D.L.R. : on pourrait penser faire cette démonstration dans d’autres bases que la base 10, notamment la plus simple : la base 2. Malheureusement cela ne fonctionne pas. En effet l’écriture en base 2 d’un carré ne peut se terminer que par 0 ou 1 et l’écriture de son double que par 0. Comme $$$2n^2 =m^2$$$, l’écriture de $$$m^2$$$ (et par conséquent celle de $$$m$$$) ne peut se terminer que par 0. Si l’écriture de $$$2n^2$$$ se termine par 0, celle de $$$n^2$$$ (et donc celle de $$$n$$$) se termine par 0 ou 1 donc on ne peut relever aucune contradiction… (tout au moins avec ce même raisonnement simple, car on pourrait toujours faire une parodie de la démonstration grecque basée sur le pair et l’impair).

Par contre cela marche très bien en base 3 : l’écriture en base 3 d’un carré ne peut se terminer que par 0 ou 1 et l’écriture de son double que par 0 ou 2. Comme $$$2n^2 =m^2$$$ l’écriture de $$$m^2$$$ (et par conséquent celle de $$$m$$$) ne peut se terminer que par 0. Si l’écriture de $$$2n^2$$$ se termine par 0, celle de $$$n^2$$$ (et donc celle de $$$n$$$) se termine par 0. Ce qui montre que $$$m$$$ et $$$n$$$ sont divisibles par 3, ce qui apporte une contradiction à l’hypothèse $$$m$$$ et $$$n$$$ premiers entre eux.

À partir de là, c’est parti : les mathématiques "expérimentales" prouvent que ce n’est pas possible d’utiliser cette démonstration dans les bases 2, 7, 14, 17, 23, 31, 34… Y aurait-il une loi ? Qui a envie de continuer ?

 

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Les Chantiers de Pédagogie Mathématique n°179 janvier 2019
La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS