Avis de recherche du n°189
Rappelons l’avis de recherche du numéro 189 de juillet 2021 :
| Soit $f$ une fonction continue sur $\left] 0 \, ; +\infty \right[$. On pose, pour tout $x > 0$, $A(x) = \int_{\frac{1}{x}}^{x} f(t)dt$ . Le problème est de déterminer les fonctions $f$ vérifiant, pour tout $x > 0$, $A(x) = 0$. La fonction nulle est bien sûr solution, mais il y en a aussi une infinité d’autres ! On pourrait même faire un jeu : vous me donnez une fonction quelconque, à votre goût, continue sur $\mathbb{R}$, mais pas paire, et je vous trouve grâce à elle, instantanément, une fonction $f$ non nulle solution au problème… Voyez-vous comment ? |
Voici une solution à cet avis.
Notons $F$ une primitive de $f$ sur $\left] 0 \, ; +\infty \right[$.
On a donc, pour tout $x > 0$, $A(x) = F(x) - F\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
$F$ est dérivable en tant que primitive et $A$ aussi, comme différence et composée de fonctions dérivables.
De $A(x) = 0$, on déduit que, pour tout $x > 0$, $F(x) = F\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
En dérivant ces deux fonctions égales, on obtient : pour tout $x > 0$, $f(x) = -\dfrac{1}{x^2} \times f\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
On a donc $xf(x) = -\dfrac{1}{x} f\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
Remarque intéressante : Pour $x = 1$, on obtient : $f(1) = - f(1)$, donc $f(1) = 0$.
Posons, pour tout $x > 0$, $g(x) = xf(x)$. On a donc $g(x) = - g\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
Posons $x = e^u$, ce qui est possible puisque $x > 0$. On a alors $g(e^u) = - g(e^{-u})$.
Posons enfin $h = g \circ \exp$.
On obtient alors : Pour tout réel $u$, $h(u) = -h(-u)$ donc $h$ est une fonction impaire, définie sur $\mathbb{R}$.
On a alors, pour tout $x > 0$, $g(x) = h(\ln{x})$ et donc $f(x) = \dfrac{g(x)}{x} = \dfrac{h(\ln{x})}{x}$, avec $h$ fonction impaire sur $\mathbb{R}$.
Réciproquement, faisons le changement de variable $t = e^u$ dans l’intégrale (acceptable car $\exp$ est continûment dérivable et $t > 0$, donc on a bien : $\mathbb{R}_{+}^{*}$ inclus dans l’ensemble-image de $\exp$).
On a alors $dt = e^u$, si $x = e^X$, alors $\dfrac{1}{x} = e^{-X}$.
Donc $A(x) = \int_{\frac{1}{x}}^{x} \dfrac{h(\ln{t})}{t}dt = \int_{-X}^{X} \dfrac{h(u)}{e^u}du = \int_{-X}^{X} h(u)du$.
Or on sait que si une fonction est impaire, son intégrale entre deux bornes opposées est nulle.
Conclusion : $f$ est définie sur $\left] 0 \, ; +\infty \right[$ par $f(x) = \dfrac{h(\ln{x})}{x}$, avec $h$ fonction impaire sur $\mathbb{R}$.
Exemples : Si, pour tout réel $x > 0$, $h_1(x) = x$, alors $f_1(x) = \dfrac{\ln{x}}{x}$,
et si $h_2(x) = \dfrac{e^x - 1}{e^x + 1} = \dfrac{e^{\frac{x}{2}} - e^{-\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}} + e^{-\frac{x}{2}}}$, bien connue en tant que fonction impaire non triviale, alors $f_2(x) = \dfrac{x - 1}{x^2 + x}$…
Et si, pour jouer au jeu cité dans l’énoncé, votre interlocuteur vous donne une fonction $\varphi$ non impaire ?
Pas de problème : $f(x) = \varphi(x) - \varphi(-x)$ permet d’obtenir une telle fonction.
Mais si $\varphi$ est paire, alors $f$ est la fonction nulle, ce qui est décevant. Autant ne pas choisir une fonction paire…
Nouvel avis de recherche
| Déterminer l’ensemble des points du plan par lesquels passent deux droites perpendiculaires, l’une tangente et l’autre normale (en des points différents) à l’hyperbole $(H)$ d’équation $y = \dfrac{1}{x}$. Problème ouvert : Cette courbe fait-elle partie des courbes historiques ? |
Pour cet avis de recherche, ainsi que des compléments sur des avis précédents, écrivez-nous à l’adresse des problèmes des Chantiers.
Les chantiers de pédagogie mathématique n°190 octobre 2021
La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS