Un résultat lumineux… en 5^e

Parmi les résultats qui ont été pour moi une révélation, c’est celui du produit de $-1$ par $-1$ :

$$(-1) \times (-1) = +1$$

Je ne me souviens plus du raisonnement développé par ma professeure mais j’imagine qu’il devait correspondre au calcul de $(-1) \times \left(1+(-1)\right)$ de deux façons.

D’une part, $(-1) \times \left(1+(-1)\right) = (-1) \times 0 = 0$ et donc $(-1) \times \left(1+(-1)\right) = 0$ puis, en utilisant la distributivité et sachant que $1$ est l’élément neutre pour la multiplication, on a les égalités suivantes :

$$(-1) \times 1 + (-1) \times (-1) = 0$$

$$-1 + (-1) \times (-1) = 0$$

$$+1 -1 + (-1) \times (-1) = +1 + 0$$

$$(-1) \times (-1) = +1$$

La seule chose dont je me souviens est qu’après quelques calculs on arrivait à cette égalité et je m’étais dit, in petto : « waouh ! ».

Introduire la règle des signes en 4^e

Je ne sais pas si le raisonnement ci-dessus aura le même effet sur tous les élèves de 5^e — ou de 4^e puisque cela est maintenant au programme de la classe de 4^e — j’en doute et, par conséquent, j’utilise une autre méthode pour faire comprendre la règle des signes à mes élèves de 4^e. Je pense que Stendhal [1] aurait adoré ma méthode 😉

Cette méthode est basée sur l’examen d’une table de Pythagore étendue aux nombres relatifs.

Vous pouvez télécharger cette table pour la projeter au tableau, ainsi qu’une version à photocopier pour les élèves.

On examine avec les élèves cette table, notamment comment on se déplace sur une colonne ou sur une ligne dans la partie complétée et qui correspond aux tables de multiplication des classes élémentaires ; d’ailleurs quelques élèves connaissent le nom de cette disposition des tables et me le disent spontanément.

On complète ensemble une colonne et une ligne, par exemple celles correspondant à la table de $+2$ puis les élèves poursuivent ce travail pour les quadrants « +/- » et « -/+ » ainsi accessibles à partir du quadrant « +/+ ».

Une fois cela corrigé, on observe cette fois-ci comment on se déplace pour la table de $(-2)$, occasion de revoir des calculs [2] du style $-6 + (-2) = -8$ ou $-6 - (-2) = -6 + 2 = -4$. On peut alors compléter le dernier quadrant « -/- ».

Une lecture globale des 4 quadrants permet alors d’énoncer la règle des signes, et la comprendre.

À ma connaissance, un seul manuel propose cette méthode, celui édité par Sesamath.

Cette année, un élève a remarqué quelques symétries dans cette table de Pythagore étendue, notamment une symétrie par rapport à l’intersection des 2 colonnes des $0$ : un demi-tour qui est en lien avec la multiplication par $-1$ ; un lien possible avec les homothéties de rapports négatifs qui sont étudiées en 3^e.

Reste enfin à réfléchir avec les élèves sur ce qu’il se passe pour un produit comportant plusieurs nombres relatifs ; le pair et l’impair sont à la manœuvre.

Bibliographie

Voici quelques documents pour réfléchir à l’enseignement des nombres relatifs :

• Bonnes et fausses pistes dans l’enseignement des mathématiques
  par André Deledicq

• Enseigner les nombres négatifs au collège
  par le Groupe Didactique des mathématiques de l’IREM d’Aquitaine

• Aperçu historique sur les nombres relatifs
  par Dominique Gaud et Jean-Paul Guichard (IREM de Poitiers)
  Repères-IREM, N°2. p. 93-123