par Alain Bougeard, Michel Suquet
En ce qui concerne les avis des derniers numéros des Chantiers, nous n’avons reçu aucune solution : signe que nos collègues ont préféré farnienter le plus possible pour affronter le plus sereinement possible une rentrée qui s’annonçait chaotique au vu des événements consécutifs à une dissolution inattendue.
Heureusement, Alain a trouvé quelques instants pour se replonger dans les mathématiques, ce qui le change de ses autres activités : « Je n’ai rien au sujet du 199 car, en vieillissant, mon aversion pour les calculs empire d’autant plus que je ne vois vraiment pas à quoi cela peut servir géométriquement ! J’attends la réponse avec impatience… »
Avis de recherche du n°199
Nous vous avions proposé un problème très algébrique en apparence :
- Sauriez-vous résoudre le système suivant, système de 3 équations à 3 inconnues ?
$\left\{\begin{array}{ccc} (x+y)^2(xy-128) + xy^2z &=& 0 \\ (y+z)^2(yz-81) + x^2yz &=& 0 \\ x^2-y^2+z^2 &=& 0 \end{array} \right.$
- À quoi peut bien servir cette résolution ?
Solution de cet avis de recherche
Notre collègue Serge Segor devait nous fournir la suite de sa solution pour ce numéro des Chantiers mais il a été bien pris par la rentrée ; elle est donc reportée à un prochain numéro : cela vous laisse amplement le temps de proposer vos propres recherches pour terminer cette solution ou d’aborder la résolution du système d’une autre manière.
Alain va devoir patienter encore un peu !
Avis de recherche du n°201
Nous vous avions proposé le problème suivant :
Un cercle est donné : il est assez simple de construire un triangle équilatéral inscrit, à l’aide du compas et de la règle ; la méthode de la rosace chère au cœur des écoliers saura vous guider.
Mais cette construction est-elle possible à l’aide de la règle seule ?
Question subsidiaire : la construction est possible à l’aide de la règle à bords parallèles (ce qui est le cas des règles vendues dans le commerce : leurs deux bords sont parallèles), saurez-vous la trouver ?
NB : on pourra explorer les situations selon que le centre du cercle est donné ou pas.
Solution de cet avis de recherche
Laissons la parole à Alain :
…Par contre la géométrie avec une règle seule me plaît davantage mais la question posée ne me semble pas relever de la recherche telle qu’on a pu la proposer dans nos avis de recherche mais plutôt de la recherche… dans les connaissances mathématiques telles qu’on les trouve dans les manuels ; en particulier celui de Jean-Claude Carrega, Théorie des corps — La règle et le compas avec un chapitre sur les constructions à la règle seule prouvant que cette construction est impossible à la règle seule mais possible si un cercle est donné avec son centre ; dans ce cas, saurez-vous nous proposer une solution effective ? Wikipédia offre aussi les mêmes ressources mais il manque des démonstrations. En attendant vos propositions, vous pouvez consulter le site Maths en folie.
Cependant, la question subsidiaire me semble plus intéressante dans la mesure où on ne trouve pas grand-chose dans la littérature ; plus exactement je n’ai pas trouvé grand-chose…
Prenons le cas le plus difficile où l’on ne connaît pas le centre du cercle donné.
Avec la RABP (la règle à bords parallèles), et à condition que sa largeur soit inférieure au rayon $R$ du cercle donné, on peut trouver.
Pour cela on choisit deux points $A$ et $B$ sur le cercle et avec la RABP on trace la droite $(AB)$ et sur l’autre bord la droite qui coupe le cercle en $C$ et $D$. On recommence l’opération en posant la RABP sur $(CD)$ et en traçant alors $(EF)$.
Les segments $[AD]$ et $[CB]$ se coupent en $G$ puis $[CF]$ et $[DE]$ se coupent en $H$. Il est facile de prouver que la droite $(GH)$ est diamètre du cercle qu’elle coupe en $I$ et $J$. Le centre $O$ du cercle sera le milieu de $[IJ]$.
La construction du milieu d’un segment $[IJ]$ se fait sans problème avec la RABP :
On pose la RABP avec $I$ sur le bord supérieur et $J$ sur le bord inférieur et on trace les deux bords puis on recommence en inversant les rôles de $I$ et $J$.
L’intersection des 2 bandes de même largeur est donc un losange dont les diagonales se coupent en leur milieu $M$.
Il suffit de recommencer cette construction pour obtenir le milieu $N$ de $[MJ]$ et sa médiatrice qui coupe le cercle en $P$ et $Q$ ce qui permet de tracer le triangle $IPQ$ dont je vous laisse le soin de démontrer qu’il est équilatéral…
Si l’on connaît le centre du cercle $M$, cela simplifie la construction du triangle puisque à l’étape 1 il suffit de construire seulement le point $G$ qui nous donne avec $M$ le diamètre $[IJ]$ puis le point $N$ comme ci-dessus.
Notons au passage que cette construction permet de construire le carré inscrit (même s’il y a plus simple) ; quant au pentagone et autres polygones… Ah, tiens, le site de Maths en folie apporte quelques indices ! Là aussi, envoyez-nous vos cogitations 🙂
PS : Je viens de m’apercevoir que l’on peut simplifier la construction en supprimant celle de $H$. En effet le trapèze $ACDB$ est isocèle et il suffit de prendre l’intersection de $(AC)$ et $(DB)$ que l’on appellera $H$ et ainsi la construction de $[IJ]$ est assurée. En outre on s’affranchit de la contrainte de la largeur de la règle inférieure à $R$ : strictement inférieure à 2$R$ suffira.
Remarque : à ceux et celles qui voudraient en savoir plus sur la RABP, nous vous conseillons la lecture de l’article de Daniel Berthe et Bernard Cazier (Irem de Lille), La règle a bords parallèles ou l’article de Valentina Céli (ESPÉ d’Aquitaine) et Françoise Jore (Université Catholique de l’Ouest) qui aborde l’utilisation de la RABP dans la formation initiale des professeurs des écoles. Vous pouvez aussi naviguer vers le site de Patrice Debart qui aborde des constructions avec la RABP.
Nouvel avis de recherche
Nous vous proposons un problème que certains et certaines résoudront sans doute en moins de 5 minutes et donc qui leur laissera tout loisir pour chercher celui des Chantiers n°199.
Soit $ABC$ un triangle et $O$ un point à l’intérieur d’icelui. Les segments $[OA]$, $[OB]$ et $[OC]$ ont pour longueurs respectives 3, 4 et 5. Quel est le périmètre du triangle ?
Nous attendons vos solutions que nous aurons plaisir à lire, et si, de plus, vous avez des problèmes à soumettre à la sagacité de nos lecteurs et lectrices, ainsi que des compléments sur des avis précédents, écrivez-nous à l’adresse des problèmes des Chantiers.
La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS