par Alain Bougeard, Michel Suquet
En ce qui concerne l’avis du n°199 des Chantiers, Alain doit encore patienter pour une solution complète qui devient, décidément, une espèce d’arlésienne algébrique car personne ne nous a fait parvenir une quelconque solution complète. Peut-être aurons-nous plus de chance pour le mois de mars 2025 ?
Avis de recherche du n°202
Nous vous avions proposé un problème de calcul de périmètre :
Soit $ABC$ un triangle et $O$ un point à l’intérieur d’icelui. Les segments $[OA]$, $[OB]$ et $[OC]$ ont pour longueurs respectives 3, 4 et 5. Quel est le périmètre du triangle ?
Solution de cet avis de recherche
La solution va en désoler plus d’un⋅e puisque la question de l’énoncé laissait supposer qu’il y avait une valeur unique pour le périmètre de $ABC$ ! Autre perfidie, l’introduction des distances 3, 4 et 5 pour faire penser à Pythagore, ce qui est un leurre car la méthode est la même avec 13, 22 et 31 !
Mais vous n’êtes pas tombé dans ce double panneau : par exemple, une utilisation de GeoGebra (ou de tout autre logiciel de géométrie dynamique) permet rapidement de se rendre compte qu’il y a une infinité de solutions pour le périmètre d’un triangle répondant aux hypothèses de l’énoncé.
Pour explorer la situation avec GeoGebra, une première méthode consiste à se donner un nombre $k$ entre 0 et 7, de placer les points $A(0,0)$ et $B(0,k)$ puis de tracer les cercles de centres $A$ et $B$, respectivement de rayons 3 et 4 : ils se coupent en au moins un point : nommons-le $O$ et traçons le cercle de centre $O$ et de rayon 5. Enfin, on choisit un point $C$ sur ce dernier cercle : le triangle $ABC$ satisfait aux hypothèses de l’énoncé.
En faisant varier $k$ ou le point $C$ sur le cercle, il est visible qu’il y a une infinité de valeurs prises par le périmètre du triangle $ABC$.
Une deuxième méthode consiste à placer le point $O(0,0)$ puis de tracer 3 cercles concentriques de centre $O$ et de rayons 3, 4 et 5. On place un point sur chacun de ces 3 cercles pour obtenir un triangle $ABC$ qui répond aux hypothèses de l’énoncé. On peut même demander à GeoGebra de calculer le périmètre du triangle.
De même, en faisant varier les points $A$, $B$ ou $C$, on arrive à la même conclusion que pour la première méthode.
Toutefois, au cours de vos explorations du problème, nous sommes sûrs que vous vous êtes posés d’autres questions telles que : « quelles sont les bornes inférieure et supérieure de ce périmètre ? », « à quelles conditions le point $O$ est-il bien à l’intérieur du triangle $ABC$ ? », « en quoi cela influence les bornes du périmètre ? », et d’ailleurs, la position du point $O$ est-elle une hypothèse indispensable ?
Avez-vous su répondre à ces questions et à toutes les questions qui ont émergé lors de vos recherches ? N’hésitez pas à nous écrire sur tout cela !
Nouvel avis de recherche
Nous vous proposons deux sangakus qui sont des énigmes de géométrie qui nous viennent du Japon. Ne vous plongez pas illico presto dans l’Internet, cherchez par vous-même et envoyez-nous vos trouvailles glanées au cours de vos recherches.
Pour la figure 1, il s’agit de proposer une construction à la règle et au compas et d’exprimer la distance entre les deux points $A$ et $B$ en fonction des rayons des cercles.
Pour la figure 2, nous vous demandons également une construction à la règle et au compas et de trouver le rapport entre les aires des 3 cercles.
Nous attendons vos solutions que nous aurons plaisir à lire, et si, de plus, vous avez des problèmes à soumettre à la sagacité de nos lecteurs et lectrices, ainsi que des compléments sur des avis précédents, écrivez-nous à l’adresse des problèmes des Chantiers.
Les chantiers de pédagogie mathématique n°203 janvier 2025
La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS