Jacques Peletier et le groupe M. : A.T.H.

Le groupe M. : A.T.H. (Mathématiques : Approche par des Textes Historiques) de l’IREMS de Paris travaille depuis le début des années 1980 à l’introduction d’une perspective historique dans l’enseignement des mathématiques.

L’étude d’extraits de textes originaux, entrant dans le cadre des programmes scolaires et choisis pour être accessibles aux élèves, leur permet de prendre conscience de l’évolution historique d’une notion mathématique et les aide à remettre en question une vision des mathématiques comme un « produit fini » . Ces textes peuvent être utilisés de manières diverses : pour introduire une notion, pour étudier un problème ayant préoccupé les mathématiciens, pour une remédiation sur des notions mal assimilées, etc.

Le groupe M. : A.T.H. propose aux personnes intéressées des séances mensuelles de lecture de textes historiques ; depuis fin 2024, le thème choisi est l’algèbre et nous avons ainsi été amené⋅es à lire un certain nombre de textes. C’est le cas de L’algèbre, departie an deus livres de Jacques Peletier du Mans, écrit en 1554, dont la découverte ou redécouverte a été source d’un grand intérêt et de beaucoup de plaisir, que nous avons eu immédiatement envie de partager, aussi bien avec nos élèves que nos collègues.

Une présentation de ce travail a été l’objet d’un atelier lors de la Journée Régionale 2025 du samedi 29 novembre 2025 à l’IHP (Institut Henri Poincaré).

Jacques Peletier du Mans (Le Mans, 1517 — Paris, 1582 ou 1583) est envoyé très jeune étudier à Paris au collège de Navarre où son frère Jean enseigne la philosophie. Il a un esprit curieux et de nombreux centres d’intérêt. Il a étudié la philosophie, le droit, la médecine, les mathématiques ; il a beaucoup voyagé, en France, mais aussi en Italie. Il était grammairien, poète, mathématicien…

Au cours de ses voyages, il se lie d’amitié avec Pierre de Ronsard et Joachim Du Bellay, rencontre des humanistes et des poètes, fréquente aussi Montaigne (Genin, 2017). Peletier a une grande ouverture d’esprit et, bien que catholique, il a de nombreux amis protestants, dans une période troublée par les guerres de religion.

Jacques Peletier conçoit une réforme de l’orthographe française, qu’il juge inutilement compliquée et qu’il voudrait plus proche de sa prononciation, et publie en 1550 un Dialogue de l’ortografe e prononciation francoese, departi an deus livres.

En sciences, Jacques Peletier a publié des ouvrages sur la médecine et des traités mathématiques, en algèbre, mais aussi en arithmétique et en géométrie.

 

Le début du livre d’algèbre de Peletier

Le chapitre I s’intitule : « De l’invention et usage de l’Algèbre, et de ceux qui en ont écrit » . Il commence par ces mots :

L’ALGÈBRE est un art de parfaitement et précisément nombrer : et de soudre toutes questions Arithmétiques et Géométriques de possible solution par nombres Rationnaux et Irrationnaux. […]

Elle apprend à discourir, et à chercher tous les points nécessaires pour résoudre une difficulté : et montre qu’il n’est chose tant ardue, à laquelle l’esprit ne puisse atteindre, avisant bien les moyens qui y adressent.

L’algèbre, Peletier, 1554, p.1
traduction en français actuel

Peletier donne ensuite un « aperçu historique » sur les premiers algébristes. L’édition de 1554 du livre de Peletier est écrite avec son orthographe rénovée, conforme à la prononciation du français… de son époque, ce qui ne facilite pas la tâche d’une lectrice cherchant à savoir quels sont les auteurs dont il parle. Nous avons modernisé son langage dans nos citations.

Il commence ainsi : « Le premier inventeur de cet art, selon d’aucuns, fut Geber Arabe ». Nous ignorons qui sont ces « d’aucuns » dont Peletier tire cette information (fausse) ; d’après Wikipedia, Geber est la latinisation du nom d’un mathématicien et astronome arabe. Il semble qu’il y en ait eu plusieurs de ce nom, cependant le site de l’Université de St Andrew, en Écosse, n’en cite qu’un, Jabir ibn Aflah. qui aurait vécu de 1100 à 1160 (peut-être à Séville, en tous les cas en Espagne). Peletier corrige immédiatement cette affirmation sur le « premier inventeur » :

Selon les autres, ce fut un Mahomet fils de Moïse Arabe : Lequel, comme dit Jérôme Cardan, après un Léonard de Pesare, en a laissé quatre chapitres ou règles avec leurs Démonstrations : lesquels ne se trouvent publiquement que je sache.

Ibid. p.2

Cette phrase nous renvoie à l’Ars Magna (1545, écrit en latin) de Cardan qui cite « Mahomete, Mosis Arabis filius » comme étant à l’origine de cet Art (l’Algèbre) et dit qu’un témoin sûr (« testis locuples ») de cela est « Leonartus Pisanus [1] ». Il est assez curieux que « Pisanus » devienne « de Pesare » chez Peletier. Quant à « Mahomet, fils d’un Moïse Arabe » , il s’agit sans doute d’Al-Khwarizmi, dont le nom complet est Abu Ja’far Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi. Or Mahomet est la latinisation de Muhammad, Musa la version arabe de Moïse, et ibn signifie fils.

Peletier cite ensuite divers algébristes, en précisant la langue dans laquelle ils ont écrit sur l’algèbre : Luca Pacioli en italien (Summa de arithmetica geometria proportioni et proportionalita, 1494), Cardan en latin, l’Allemand Michael Stifel qui publie en latin l’Arithmetica Integra (1544), Christoff Rudolff (Die Coss, 1525) et Adam Riese (Coss, resté manuscrit, peu connu) « tous deux Allemands, qui l’ont rédigée en leur langue. J’ai encore ouï dire de Pierre None [2], Mathématicien de Lisbonne au Portugal, qu’il l’avait aussi traitée dans son langage Espagnol : Mais je n’ai pas vu son livre, non plus que [ceux] des deux Allemands : et je crois qu’il n’est pas encore publié ».

Peletier dit enfin avoir vu l’ouvrage de Johannes Scheubel, Algebrae compendiosa facili’sque descriptio, qua depromuntur magna Arithmetices miracula, publié en latin à Paris en 1551, « lequel attribue l’invention de cet art à un Diophante Grec, qui en a laissé treize livres, au rapport de Ian Demõroe, fameux mathématicien de notre temps ». Ce « Demõroe » nous a laissées perplexes, mais nous avons réalisé que roe était mis pour roi (prononciation de l’époque), õ étant généralement mis pour on, et l’édition de 1620 nous a confortées dans cette interprétation en orthographiant ce nom Demontroy : nous avons alors identifié ce « fameux mathématicien » comme étant Johannes Müller (1436 — 1476), né près de Königsberg, plus connu sous le nom de Regiomontanus, qui a découvert lors de son séjour à Rome (1461 — 1465) un manuscrit grec des Arithmétiques de Diophante.

Ce chapitre I confirme ainsi que Peletier est « doué de connaissances étendues » (Bosmans, 1907). Il est de plus scrupuleux et cite toujours ses sources lors de ses emprunts aux algébristes qui l’ont précédé, et en particulier, n’hésite pas à reconnaître ce qu’il doit à Stifel.

 

Le calcul algébrique de Peletier

Peletier, à la suite de Stifel, nomme « nombres cossiques » les expressions renfermant l’inconnue et utilise des « signes cossiques » pour les représenter. Il donne une table pour les signes cossiques, qui servent aussi à dénommer les puissances de nombres connus :

La deuxième ligne du tableau présente les symboles représentant l’inconnue et ses puissances dans l’ordre croissant, la première ligne étant constituée de leurs exposants : par exemple, $3c\beta$ est le « signe cossique » pour ce que nous noterions $3x^{11}$, l’inconnue étant notée $x$ (à ne pas confondre avec $3ç\beta$, que nous noterions $3x^{10})$. La dernière ligne est un exemple de progression géométrique.

Peletier précise :

Ce que sont l’Addition et la Soustraction en la Progression Arithmétique, cela même sont la Multiplication et Division en la Progression Géométrique. Savoir, Comme par l’addition de ces deux termes supérieurs $4$ et $6$, se produisent $10$ : ainsi par la multiplication de $16$ et $64$, se produisent $1024$, qui est le terme sous $10$.

Ibid., p.9

On remarque que l’invention des signes cossiques est « multiplicative », le signe correspondant à l’exposant $6$ étant formé de la juxtaposition des signes correspondant à $2$ et $3$. Il est donc nécessaire d’inventer de nouveaux signes pour les exposants premiers, comme $5$, $7$ ou $11$ : de fait, pour $5$, on emploie un signe ressemblant au bêta grec ($\beta$) ou à l’eszett allemand, mais pour les suivants, il combine ce signe avec les lettres latines successives, $b\beta$ pour $7$, $c\beta$ pour $11$, etc. Comme Stifel, Peletier donne également une table pour les signes cossiques correspondant aux nombres premiers.

Il utilise d’ailleurs la nomenclature de Stifel, « racine » pour l’inconnue, « cens » pour son carré, « cube » pour son cube, nomenclature qui se révèle aussi multiplicative pour les puissances ultérieures.

Dans l’exemple de Peletier, nous noterions, en appelant $x$ l’inconnue, $3x$, $6x^{2}$, $25x^{3}$ les « trois racines, six cens, 25 cubes ». Il donne plus loin les règles de calcul algébrique.

 

Compte-rendu d’une activité en classe de seconde

L’activité que nous vous présentons ici a été réalisée en novembre 2025 sur deux séances d’aide personnalisée d’une heure dans deux classes de seconde du lycée Voltaire (Paris). Les élèves étaient en demi-groupe, environ 16 élèves.

Les objectifs sont surtout :

• faire de la remédiation sur deux règles de calculs algébriques (réduction de termes et soustraction d’une expression algébrique) : des erreurs souvent présentes en seconde empêchent les élèves de réussir en calcul littéral.
• donner une culture générale en présentant un algébriste du XVI^e siècle qui utilise un autre langage que le nôtre et l’évolution de l’algèbre.

 

Première séance

Étape 1

J’ai présenté Jacques Peletier du Mans en projetant une diapositive contenant quelques éléments biographiques et un plan de 1550 avec la localisation de son collège [3]. Nous avons précisé deux lieux géographiques : la ville du Mans (la ville de sa naissance) et la montagne Sainte-Geneviève à Paris (lieu de sa scolarité) que les élèves ne connaissent pas. Nous avons collectivement précisé le contexte historique des guerres de religion.

Les élèves ont été très curieux et ont vraiment participé avec l’envie de partager leurs connaissances sur cette période. Ils ont découvert un personnage et se sont intéressés à sa formation et son parcours.

J’ai terminé la présentation de Jacques Peletier avec la description de son livre d’algèbre publié pour la première fois en 1554. Pour l’anecdote, je leur ai dit que l’édition était écrite avec les règles d’orthographe qu’il avait lui-même établies. Ensuite, je leur ai expliqué pourquoi j’avais choisi de leur parler de Jacques Peletier. Son ouvrage d’algèbre allait nous permettre de revoir certaines règles algébriques à partir d’extraits de son livre, et de mieux les comprendre.

Étape 2

Après toutes ces informations sur Peletier, j’ai projeté sa nomenclature (figure 1, ci-dessus) avec les termes « nombres cossiques » et « signes cossiques » . En lisant la diapositive, j’ai expliqué le vocabulaire utilisé par Peletier : un « nombre cossique » est un terme contenant l’inconnue et Peletier utilise des « signes cossiques » pour les écrire. Je précise tout de suite qu’il existe différents symboles selon la puissance de l’inconnue. Un signe cossique représente à la fois l’inconnue et l’exposant de l’inconnue. Les élèves sont surpris par la quantité de symboles et par leur écriture, ils ne comprennent pas l’intérêt d’avoir autant de symboles qu’ils trouvent compliqués. Ils se demandent à quoi peuvent servir tous ces symboles. On peut faire autrement et plus simple. Il n’y a pas de $x$ et de $y$ !

Avant de leur expliquer précisément les symboles, je leur présente quelques points importants sur l’évolution de l’algèbre. Je commence par leur parler d’Al-Khwarizmi, auteur d’un livre considéré comme celui qui fonde l’algèbre en tant que discipline. Dans son ouvrage, il définit les trois objets de l’algèbre, l’inconnue, appelée racine ou chose, le carré de l’inconnue, appelé bien, et le « nombre seul » , notre constante. Le livre présente ensuite des algorithmes pour résoudre les équations du premier et second degré. Ce livre date du IX^e siècle et est écrit en langage naturel, Al-Khwarizmi n’utilise aucun symbole pour résoudre une équation (Djebbar, 2005).

Ensuite, je leur explique brièvement la transmission du livre d’algèbre d’Al-Khwarizmi à l’Occident au XII^e siècle : le livre ayant eu immédiatement un grand succès, on le retrouve dans différentes régions de l’empire musulman qui s’étend jusqu’en Espagne à cette période. L’ouvrage, dont des copies ont été transmises aux grands foyers intellectuels et scientifiques, comme Tolède ou Cordoue, a été traduit en latin ou en hébreu et se répand ainsi dans toute l’Europe. Dès le XII^e siècle, certains auteurs italiens font référence à cet ouvrage et participe à l’assimilation en Occident de l’algèbre et à son développement.

Nous revenons à Peletier, qui cite les ouvrages qu’il connaît et dont il s’inspire, principalement ceux de deux allemands, Scheubel et surtout Stifel. Ces derniers utilisent le mot « die Coss » pour parler de l’inconnue. Peletier reprend leur vocabulaire ainsi que de nombreuses notations ou symboles. Mais il ne les reprend pas toutes et pas seulement. « Die Coss » est sans doute la germanisation du mot « cosa » en italien qui signifie la chose, le mot « chose » étant la traduction du nom arabe donné par Al-Khwarizmi à l’inconnue.

À cette période, les notations ne sont pas fixées, des mathématiciens de la même époque utilisent des symboles différents pour l’inconnue et ses puissances. Peletier, qui est quelqu’un de très honnête, nous permet de savoir où nous en sommes, il nomme toujours ses sources et nous dit si cela vient de lui ou de quelqu’un d’autre. Il fait, par exemple, référence à plusieurs reprises à Stifel. Cela me parait important de présenter l’évolution de ce langage mathématique et d’utiliser un autre langage, celui de Peletier, qui devrait aider à ne plus commettre certaines erreurs fréquentes avec celui de notre époque.

À ce moment de mon cours, je reprends alors la signification des symboles utilisés par Peletier. J’insiste sur le fait que Peletier utilise des symboles pour représenter l’inconnue avec sa puissance et que les symboles ne sont pas les mêmes quand l’inconnue est à une autre puissance.

L’explication de la nomenclature se fait en trois étapes. Je présente d’abord les symboles qui représentent l’inconnue, le carré de l’inconnue, puis son cube en leur disant qu’on s’intéressera particulièrement à ces trois symboles dans l’activité. Ensuite, je leur décris les symboles qui représentent l’inconnue dont la puissance est un nombre premier à partir de 5. Pour cela, je commence par leur montrer le symbole qui représente l’inconnue puissance 5. Ce symbole évoque une lettre allemande, reconnue par quelques élèves, ou grecque. Ensuite, je leur demande de lire et d’interpréter les symboles qui représentent les inconnues puissance 7, puissance 11...

Ce fut l’occasion de revoir avec eux les premiers nombres premiers. La plupart remarquent qu’on retrouve le même symbole, celui de l’inconnue à la puissance 5, précédé d’un autre symbole, mais ne voit pas la logique. Je leur demande de regarder plus attentivement, d’essayer de comprendre ce que fait Peletier.

Un élève remarque que l’on retrouve les lettres de l’alphabet avant le symbole de l’inconnu puissance 5. Je leur explique comment Peletier a construit ses différents symboles à partir d’autres pour ne pas en avoir trop. Avec ses notations, à chaque nombre premier correspondrait un nouveau symbole.

Dans le cas où les exposants ne sont pas des nombres premiers, en prenant comme exemple l’inconnue puissance 6, certains élèves ont assez vite compris que Peletier juxtaposait deux symboles celui du carré et celui du cube. Ils ont aussi compris qu’il décompose ses exposants en produit de nombres premiers et juxtapose les symboles correspondants.

Pour conclure, je leur ai posé plusieurs questions à l’oral, leur demandant de me donner l’écriture de certaines puissances afin de vérifier qu’ils avaient bien assimilé la nomenclature et sa construction.

J’ai terminé en leur disant que la première ligne du tableau correspond bien à nos exposants, nous avons donc la notion d’exposant mais pas la notation puisque Peletier utilise un symbole différent pour chaque exposant. La troisième ligne est, elle, un exemple, celui des puissances successives du nombre 2.

Cette explication demande un peu de temps. Après un effet de surprise, les élèves s’intéressent à cette nomenclature, ils cherchent à la comprendre pour pouvoir la lire et l’utiliser. Les élèves découvrent une autre façon d’écrire, ils la trouvent étonnante et surprenante, mais ils sont curieux et ont envie d’écrire avec cet autre langage.

Étape 3

Lecture collective de la diapositive ci-dessus en précisant quelques mots de vocabulaire puis distribution du polycopié avec l’activité (encadré ci-dessous).

 
J’ai demandé aux élèves de lire le polycopié et de répondre à la question 1. Les élèves devaient fournir un travail personnel. Je circulais dans les rangs pour vérifier qu’ils complétaient bien le polycopié. Certains m’ont interpellée quand ils se rendaient compte que finalement ils n’avaient pas si bien compris comment écrire et utiliser les signes cossiques ou qu’ils ne trouvaient pas la même chose que leur voisin !

Pour la question 1.a, certains élèves écrivait $6^{2}$ pour $6ç$. Ils utilisaient le symbole comme la notation d’un exposant, ils avaient retenu que ce symbole représentait le carré mais n’avaient pas assimilé que c’était une inconnue au carré et que le carré de l’inconnue était multiplié par $6$. Cette erreur met aussi en évidence que l’écriture simplifiée $6x^{2}$ peut être difficile pour certains. Ils ne lisent pas l’expression comme un produit.

Pour la question 1.b, des élèves utilisaient aussi les signes cossiques pour écrire une constante, car ils n’avaient toujours pas compris que le signe cossique contenait un nombre inconnu dans notre activité. J’ai vu $qq$ pour $3x^{3}$ sur certains cahiers.

Après que je leur ai donné certaines explications et précisions, les élèves se sont vite remis au travail pour traduire dans un langage ou l’autre les termes donnés. Ils avaient très envie de comprendre le langage de Peletier et de réussir à l’utiliser. Il leur a fallu un peu de temps et de pratique. Deux élèves pour chaque groupe sont venus au tableau corriger les questions.

Étape 4

Certains élèves avaient lu la suite de l’activité et avait commencé à répondre aux questions suivantes. Après la correction de la question 1, j’ai projeté la diapositive ci-dessous pour reprendre le travail collectif et j’ai demandé à un élève de lire la suite de la question 1.

J’ai demandé quelques précisions aux élèves sur le vocabulaire et les notations. Le vocabulaire n’a pas posé de problème, l’adjectif « semblable » est toujours utilisé pour réduire une somme ou une différence. J’en ai profité pour préciser la signification d’absolu et de produit. Peletier utilise les abréviations $p.$ et $m.$, présentes chez les auteurs italiens, pour noter une addition ou une soustraction. Les Allemands comme Stifel utilisent le signe $+$ pour l’addition et le signe $-$ pour la soustraction. Ce choix de Peletier, qui a des sources germaniques et italiennes, met en évidence que les notations ne sont vraiment pas fixées et que chacun reprend à son compte certaines notations ou certains symboles et pas d’autres.

Ensuite, j’ai demandé aux élèves de poursuivre l’activité jusqu’à la question 5. Les élèves se sont en général pris au jeu et ont répondu aux questions. J’ai continué à circuler entre les rangs pour vérifier leur travail et répondre aux questions. La majorité voulaient me montrer qu’ils savaient écrire et calculer avec les symboles de Peletier.

Des élèves se sont succédé au tableau pour corriger les questions 2 à 5. Il y a eu de nombreux volontaires. J’ai repris des erreurs habituelles commises assez souvent durant l’année lors d’exercices de calcul algébrique avec notre langage moderne. Certains additionnent des termes qui ne peuvent pas s’additionner, par exemple $2x^{3}$ et $5x$. Avec le langage de Peletier, il n’est pas possible de commettre cette erreur. En effet deux puissances différentes sont représentées par des symboles différents et les élèves savent repérer les termes écrits avec les mêmes symboles, dits termes semblables, pour les additionner ou les soustraire.

Lors des échanges avec les élèves à la fin de la séance, nous avons évoqué le langage actuel de l’algèbre, qui utilise un seul symbole pour écrire une inconnue, par exemple la lettre $x$, la puissance à laquelle on élève l’inconnue étant indiquée par le nombre mis en « exposant ».

J’ai compris que certains élèves dissociaient la lettre qui représente l’inconnue de l’exposant, ce qui pouvait expliquer certaines erreurs. Pour eux ils ont des $x$ à additionner, ils regardent l’exposant après. Pour certains élèves, ce sont deux entités différentes qu’ils ne relient pas. Ils n’ont pas assimilé que la lettre et l’exposant forment un tout. Cette notation est très efficace, les élèves l’ont bien compris, mais parfois confuse pour certains d’entre eux.

À la fin de la séance, un élève m’a demandé si je leur demanderai d’utiliser Peletier dans la prochaine évaluation, il avait aimé son langage et avait envie de l’utiliser. La plupart des élèves étaient contents de la séance, ils avaient l’impression d’avoir appris quelque chose de nouveau et même maintenant de connaître Peletier ! Un élève m’a dit qu’il y avait beaucoup trop de symboles et que c’était dommage, parce qu’il trouvait que les calculs étaient plus simples. Il faudrait inventer un langage entre le nôtre et le sien.

 

Deuxième séance

Étape 5 : la fin de l’activité

Lors d’une autre séance d’aide personnalisée, j’ai demandé aux élèves de rapporter l’activité pour la poursuivre et la terminer. Je tenais à aborder un autre point avec eux, la soustraction d’expressions algébriques.

 
Avant de faire la question 6, j’ai projeté la nomenclature de Peletier pour leur poser quelques questions sur les notations et les symboles. Certains se sont souvenus et se sont lancés tout de suite dans la question 6. D’autres avaient, eux, oublié. J’ai dû reprendre et préciser le langage utilisé par Peletier.

Les élèves étaient en autonomie et devaient fournir un travail personnel. Mon objectif était qu’ils découvrent les démarches de Peletier pour soustraire à partir de 4 exemples (qui étaient projetés au tableau). Je circulais dans les rangs pour les obliger à rédiger. Certains voulaient bien participer et expliquer mais juste à l’oral. Je leur ai laissé du temps et je passais pour les motiver, lire certaines explications et discuter avec eux.

Ensuite nous avons fait une synthèse à l’oral, certains ont lu leur explication, ce qui a amené quelques discussions entre eux. En guise d’explication, la plupart des élèves avaient essayé de traduire les opérations de Peletier avec notre langage, en utilisant la lettre $x$ pour désigner l’inconnue et éventuellement des parenthèses, parfois avec des erreurs. D’autres ont décrit les opérations effectuées en langage naturel, sans expliquer la raison de la procédure.

Les deux premiers exemples n’ont pas posé de difficultés, cela paraissait évident, on enlève des quantités plus petites à des plus grandes. Pour le premier exemple, on soustrait 3 racines à 8 racines, il reste 5 racines et ensuite on enlève 2 à 6, il reste 4. Pour le second exemple, les élèves ont fait le même raisonnement. Mais pour le troisième, certains élèves ont parlé des nombres négatifs pour expliquer le résultat. On veut enlever 10 à 8, il manque 2, d’où l’écriture de Peletier. Les élèves n’ont pas été surpris et ont compris les opérations écrites.

Le plus difficile était de maintenir l’attention de toute la classe. Certains n’étaient pas intéressés, ou peu, par cette question, il a fallu rédiger et expliquer des choses qui leur paraissaient évidentes ou identiques à ce que l’on fait.

Pour le quatrième exemple, soit ils ne savaient pas, soit ils ont traduit en langage moderne et donc soustraire $-10$ revient à additionner $10$.

J’ai surtout repris le dernier exemple au tableau pour mettre en évidence la technique opératoire utilisée par Peletier. J’ai aussi insisté sur le fait que les nombres négatifs n’existent pas à cette époque. Les symboles $m.$ ou $p.$ ne peuvent pas être écrits au début d’une expression, ils représentent des opérations et jamais des signes.

Puis, je leur ai laissé un peu de temps pour écrire ces mêmes opérations en ligne, les obliger à mettre des parenthèses. La correction de cette question m’a permis de reprendre certaines règles en calcul algébrique pour soustraire une somme algébrique avec un autre regard, en utilisant les méthodes de Peletier. Je leur ai expliqué que pour effectuer la dernière opération, Peletier soustrait d’abord 2 cubes à 6 cubes moins 8 racines, il reste donc 4 cubes moins 8 racines. Mais en fait il faut soustraire 2 cubes moins 10 racines, on a donc trop enlevé, il faut ajouter les 10 racines qu’on a enlevées alors qu’il ne fallait pas les enlever. En additionnant 10 racines aux 8 racines qui manquent, on obtient alors 2 racines.

Pour finir la séance et cette activité, j’ai lu la démonstration de Viète et fait un dessin au tableau pour illustrer cette démonstration. Les élèves semblaient convaincus.

Malheureusement, je ne suis pas certaine que les élèves aient toujours fait le lien entre ces explications et les règles de calculs algébriques à appliquer. Les élèves étaient moins mobilisés et curieux pour cette partie de l’activité. En fait trop de temps s’était écoulé entre les deux séances ; pour conserver l’attention et la motivation de la classe, il faudrait faire les deux séances sur un temps plus court, par exemple la seconde séance en classe entière, après la première séance faite en demi-groupes. Il pourrait être intéressant de ne distribuer que les questions 1 à 5 au départ, puis de demander aux élèves d’effectuer les 4 soustractions de Peletier, sans leur en donner le résultat. L’examen des éventuelles erreurs permettrait de faire une remédiation, par exemple avec l’explication de Viète.

 

La grande règle générale de l’Algèbre

Après avoir donné les règles de calcul algébrique et la procédure de résolution des équations « censiques » , c’est-à-dire du second degré, Peletier nous donne sa grande règle générale de l’Algèbre.

Après avoir suffisamment déduit les préceptes appartenant aux opérations de l’Algèbre : il est temps de mettre ici la grande Règle générale, pour le respect de laquelle nous aurons fait toutes nos Prémisses. La Teneur donc en est telle.

Au lieu du Nombre inconnu que vous cherchez, mettez $1R$ : Avec laquelle faites votre discours selon la formalité de la question proposée : tant qu’ayez trouvé une Équation convenable, et celle-ci réduite si besoin est. ]…]

Voilà le texte formel de l’Algèbre, réduite à sa simplicité. Auquel sont comprises toutes les Règles qui en ont été baillées par ceux qui l’ont traitée. Les uns desquels au lieu de $1R$ que nous voulons être mis, mettent $1$ Chose : Les autres, $1$ Position. Et combien que tout revient à un : et ce qui est le plus convenable, est $1R$ : Comme on peut connaître par la progression des signes Radicaux et de leurs Exposants ci devant baillés : et par la régulière opération qui en vient.

L’algèbre, Peletier, 1554 Chapitre XXII, pages 46 — 47

Il lui faut maintenant donner « quelques exemples choisis » :

Avant toutes choses, Faut entendre que le plus requis en Algèbre, est de bien raisonner ou discourir, pour parvenir à l’Équation. Pour cela, il convient d’être attentif au mérite et à la formalité des Questions : et s’exercer à en faire d’artificielles, et à les résoudre : Qui sera cause, que nous ne chargerons point notre Livre de multitude d’Exemples, remettant cela à la diligence des studieux. Et nous suffira, que nos Exemples soient expliqués avec telle pratique, qu’elle donne le moyen d’en inventer et résoudre de toutes sortes.

Exemple Premier

Il y a un Nombre, lequel multiplié par $9$, et le produit ajouté à $90$ : font autant comme le même Nombre multiplié par $14$.

Ce Nombre-là est $1R$. Je multiplie $1R$ par $9$ : cela fait $9R$ : Auquel j’ajoute $90$ : cela fait $9R \enspace p.90$. Puis je multiplie $1R$ par $14$, comme veut la Question : cela fait $14R$ qui seront égaux à $9R \enspace p.90$. J’ôte de chacun, $9R$ (pour la réduction de l’Équation) demeure $5R$, égaux à $90$. Je divise donc $90$ par $5$, comme dit le texte de la règle : je trouve $18$ pour $1R$ : qui sera le Nombre que je cherchais.

La preuve est, que $18$ multiplié par $9$, font $162$ : auquel $90$ est ajouté, font $252$. Et les mêmes $18$ multiplié par $14$, font $252$.

Cette Question se peut traduire aux choses en cette forme.

Deux hommes partent d’un même lieu, $10$ jours l’un après l’autre : Le premier fait $9$ lieux par jour : Le second en fait $14$ : En combien de jours le second rejoindra-t-il le premier ?

Entendu que le premier a déjà fait $90$ lieux en $10$ jours, Mettons que le second le rejoindra en $1R$ de jours. Donc par la Règle de $3$, si $1$ jour donne $9$ combien donne $1R$ ? Ce sont $9R$ pour le premier : Puis, Si $1$ jour donne $14$, combien donne $1R$ ? Ce sont $14R$ pour le second.

Enfin, quand le premier aura fait $9R$, avec $90$ lieues qu’il a faites : et que le second aura fait $14R$ : lorsqu’ils se rejoindront, et auront autant fait l’un comme l’autre. Partant $14R$ font également $9R \enspace p.90$. Ôtez $9R$ de chacun : demeure $5R$, égaux à $90$. Divisez $90$ par $5$, Vous aurez $18$ : Et en tant de jours le second rejoindra le premier.

La preuve, est que le premier en $18$ jours, fait $162$ lieues, qui ajouté à $90$ font $252$ : et le second en $18$ jours, fait aussi $252$ lieues : Car $18$ multiplié à $14$ font $252$.

L’algèbre, Peletier, 1554 Chapitre XXIII, pages 48-49-50

Peletier donne un deuxième habillage « concret » de la même équation, avec les gains de deux hommes, puis de nouveau le problème du voyage en le « retournant ».

Un homme a gagné $90$ florins en $10$ jours ; un autre vient nouvellement, qui gagne $14$ florins par chaque jour. En combien de jours seront-il égaux en gain, gardée la proportion lucrative de tous deux ? Faites comme dessus, et vous trouverez qu’en $18$ jours,&c.

Elle se peut retourner en cette sorte :

Un homme fait $9$ lieues par jour ; son compagnon part $10$ jours après. Combien faut-il qu’il fasse de lieues par jour, pour le rejoindre en $18$ jours ?

L’algèbre, Peletier, 1554 pages 50-51

 

Recherche de solutions particulières d’équations

Peletier, après avoir donné l’algorithme général de résolution d’équations du second degré, donne une « manière nouvelle et abrégée » de trouver des solutions d’équations. Peletier citant toujours ses sources et présentant son travail comme nouveau, on peut lui attribuer la paternité de ces « abrégés ».

Comme Stifel, Peletier écrit toujours ses équations en isolant le terme de plus haut degré, dont le coefficient est l’unité. Une équation du second degré a donc trois formes possibles, dont on trouve dans le texte des exemples : $1ç$ est égal à $9R \enspace m.20$, ou $1ç$ est égal à $48 \enspace m.2R$, ou $1ç$ est égal à $6R \enspace p.4$.

Les expressions comportant une somme de deux termes dont l’un au moins comporte l’inconnue sont appelées Nombres Composés, par exemple $6R \enspace p.4$, et celles concernant une différence sont appelées Nombres Commecomposés.

Résoudre l’équation $1ç$ est égal à $9R \enspace m.20$ (pour nous, $x^{2}=9x-20$), c’est « extraire la racine censique » du Nombre Commecomposé $9R \enspace m.20$.

 

Un premier « abrégé »

Quand, en un Nombre Composé, l’Absolu surpassera de 1, ou bien ,[quand], en un Nombre Commecomposé, [l’Absolu] sera moindre de 1, que le Nombre des $R$ : ce même Nombre absolu sera la $R$. Comme, $1ç$ égal à $8R \enspace p.9$, la $R$ est $9$ ; $1ç$ égal à $10R \enspace p.11$, la $R$ est $11$. De même, $1ç$ égal à $7R \enspace m.6$, la $R$ est $6$ ; $1ç$ égal à $8R \enspace m.7$, la $R$ est $7$. Et ainsi des autres.

L’algèbre, Peletier, 1554 p.40

L’Absolu est la constante, toujours un nombre positif, qu’on ajoute ou soustrait au terme du premier degré, le Nombre des $R$ le coefficient de l’inconnue. Comme à son habitude, Peletier donne deux règles en une phrase, ce qui ne facilite pas notre compréhension : Peletier donne une règle pour les équations du second degré dont, en termes modernes, le second membre est une somme du type $ax+a+1$ et pour celles dont ce second membre est une différence du type $ax-(a-1)$. Dans les deux cas, le Nombre absolu est solution de l’équation. Peletier ne justifie pas son résultat.

Remarquons qu’il ne donne qu’une solution, dans le premier cas car il n’y a qu’une solution positive, l’autre étant $-1$, mais aussi dans le deuxième cas où $1$ est aussi solution.

Justifier l’affirmation de Peletier pourrait être en classe l’occasion de motiver du calcul littéral, y compris pour un niveau où on ne sait pas encore résoudre des équations du second degré ; ce serait aussi un rappel du fait que vérifier qu’un nombre est solution est facile, même quand on ne sait pas résoudre.

 

Un second « abrégé »

Et sur ceci, l’homme de bon discours pourra raisonner semblablement pour d’autres formes d’Équations. Comme, si $1ç$ est égal à $14R \enspace m.24$, il pourra facilement aviser que la moitié du Nombre absolu, qui est $12$, sera la $R$. Car puisque $1ç$ est égal à Racines et Nombre, il est certain que la $R$ que l’on cherche, quelle qu’elle soit, doit être enclose précisément au Nombre. C’est-à-dire, que quand le Nombre serait divisé par $R$, si elle était connue, il ressortirait un Quotient sans fraction. Comme $1ç$ égal à $2R \enspace p.15$, il est certain que la $R$ que nous cherchons doit être contenue également en $15$, puisque $1ç$ est égal à deux racines et $15$, et que tout Nombre Censique contient ses Racines également et précisément. Maintenant, puisque $2R$ sont certain nombre de Racines, il faut donc que $15$ fasse l’achèvement des Racines qui sont nécessaires pour accomplir $1ç$. Donc, puisque $15$ se départ précisément en $5$, et en $3$ aussi, il se peut connaître aisément que $5$ ou $3$ sont la $R$. Que si vous prenez $3$, les $2R$ vaudront $6$, lequel joint à $15$ font $21$, qui n’est pas Censique. Partant, il faut que $5$ soit la Racine. Car les $2R$ font $10$, et $10$ joint à $15$ font $25$, Nombre Censique.

L’algèbre, Peletier, 1554 p.40-41

Cette méthode pour chercher des racines d’une équation polynomiale est extrêmement intéressante. En fait, il s’agit de chercher une racine entière d’équations à coefficients entiers. Nous demandons souvent à nos élèves de chercher une solution « évidente » d’une équation, nous cantonnant en général à des petits nombres solutions, $-1$, ou 1, ou $-2$, ou $2$.

Le raisonnement de Peletier, qui fait intervenir la notion de divisibilité de manière simple, permet d’envisager des cas moins évidents, et, couplée à la relation entre somme et produit des solutions d’une équation du second degré et coefficients de cette équation, de la résoudre sans passer par le discriminant. Par exemple, pour l’équation $2x^{2}-13x-7 = 0$, s’il existe une solution entière, ce doit être un diviseur de $7$ ; il est immédiat que $1$ n’est pas solution, et le calcul est assez simple pour vérifier que $7$ est solution. Le produit des racines étant $\dfrac{7}{2}$, la deuxième racine est $-\dfrac{1}{2}$.

Le procédé est encore plus intéressant pour une équation de degré supérieur. On peut ainsi déterminer une solution d’une équation du troisième degré sans savoir la résoudre, puis la factoriser pour trouver les autres solutions, ou bien, en généralisant au degré trois le résultat sur somme et produit des solutions, déterminer l’équation du second degré dont sont solutions les deux autres nombres cherchés, pour terminer la résolution.

 

Conclusion

Le livre de Peletier comporte bien d’autres exemples intéressants, qui peuvent fournir l’occasion d’activités en classe de lycée ou de collège. Nous n’avons pas fini d’explorer cet ouvrage, qui nous réserve encore bien d’heureuses surprises.

 

Indications bibliographiques

 

• Peletier du Mans Jacques, 1554, L’algèbre, departie an deus livres, Lyon, éditeur Jan de Tournes
  Disponible sur le site Gallica
  Réédition de l’édition de 1620 par l’IREMS de Paris, Reproduction de textes anciens, n°14. Disponible sur la page du groupe M. : A.T.H.

 

• Bosmans Henri, 1907, L’algèbre de Jacques Peletier du Mans
  Revue des questions scientifiques, tome XI, p.117-173, Louvain, Société Scientifique de Bruxelles
  Reproduit dans le n°14 de la série Reproduction de textes anciens de l’IREMS de Paris, 1999

 

• Cajori Florian, 1928-1929, A History of Mathematical Notations
  La Salle, Illinois, Open Court Pub. Co., Ré-édition 1993, New York, Dover.
  Disponible sur le site de l’APMEP

 

• Djebbar Ahmed, 2005, L’algèbre arabe, genèse d’un art
  Paris, Vuibert-Adapt

 

• Genin Christine, 2017, Jacques Peletier du Mans : un novateur né il y a 500 ans
  Disponible sur le site Gallica

 

• Jugé Clément, 1907, Jacques Peletier du Mans, 1517-1582 ; essai sur sa vie, son œuvre, son influence
  Paris, éditeur Lemerre
  Disponible sur le site Internet Archive

 

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