par Alain Bougeard, Michel Suquet
Avis de recherche du n°202
Notre collègue Pierre Carriquiry nous propose un prolongement de l’avis de recherche n°202 dont nous vous rappelons l’énoncé :
Soit $ABC$ un triangle et $O$ un point à l’intérieur d’icelui. Les segments $[OA]$, $[OB]$ et $[OC]$ ont pour longueurs respectives 3, 4 et 5. Quel est le périmètre du triangle ?
On trace 3 cercles $\mathscr{C}_1$, $\mathscr{C}_2$, $\mathscr{C}_3$ de centre $O$ et de rayons respectifs $3$, $4$, $5$. En prenant un point $A$ sur $\mathscr{C}_1$, un point $B$ sur $\mathscr{C}_2$ et un point $C$ sur $\mathscr{C}_3$ on obtient l’ensemble des triangles $ABC$ (éventuellement aplatis) tels que $OA$ = $3$, $OB$ = $4$ et $OC$ = $5$ mais $O$ n’est pas toujours intérieur au triangle $ABC$.
On étudiera les cas où $O$ est strictement intérieur au triangle $ABC$, c’est-à -dire qu’il n’est pas sur l’un des côtés.
Si on prend un point $A$ sur $\mathscr{C}_1$ et un point $B$ sur $\mathscr{C}_2$, quel est l’ensemble des points $C$ de $\mathscr{C}_3$ tels que $O$ soit intérieur au triangle $ABC$ ?
Les droites $(OA)$ et $(OB)$ coupent le cercle $\mathscr{C}_3$ en $A’$ et $B’$ tels que $A’$ et $B’$ soient « diamétralement opposés » à $A$ et $B$ c’est-à-dire $(OA,OA’)$ = $\pi$ et $(OB,OB’)$ = $\pi$.
En notant $C’$ le point d’intersection de $[OC)$ et du cercle $\mathscr{C}_3$, $O$ sera intérieur au triangle $ABC$ si $C’$ appartient à l’arc de cercle $\overset{ \frown}{A’B’}$ du cercle $\mathscr{C}_3$ ne contenant pas $A$.
Plus précisément, soient $x$ et $y$ les mesures des angles $(OA,OB)$ et $(OB,OC)$ et $f(x,y)$ le périmètre du triangle $ABC$.
Si $0 < x <\pi$ et $\pi-x < y <\pi$, $O$ sera intérieur au triangle $ABC$.
Si $\pi < x < 2\pi$, le symétrique $AB’’C’’$ du triangle $ABC$ par rapport à $(OA)$ a le même périmètre que $ABC$ et vérifie $0 < (OA,OB’’) < \pi$ ce qui nous ramène au cas précédent.
L’ensemble des valeurs du périmètre de $ABC$ sera alors l’ensemble des valeurs de la fonction $f$ sur le domaine $\mathscr{D} = \{(x,y), 0 < x < \pi \text{ et } \pi-x < y < \pi \}$.
On calcule $AB +BC+AC$ en utilisant la formule d’Al-Kashi :
$AB^2$ = $OA^2 + OB^2 - 2OA \times OB \times \cos(OA,OB)$ = $25 - 24\cos(x)$
de même, $BC^2$ = $41 - 40\cos(y)$ et $AC^2$ = $34 - 30\cos(x + y)$
d’où $f(x,y)$ = $\sqrt{25 - 24\cos(x)} + \sqrt{41 - 40\cos(y)} + \sqrt{34 - 30\cos(x + y)}$
On peut alors écrire un programme qui calcule les valeurs de $f(x,y)$ pour $x$ (en degrés) variant
de $2$ à $179$ et $y$ variant de $181-x$ à $179$. On trouve que$ f(x,y) > 16$ . On remarque que si $x$ = $180$, on a $C’$ = $A’$ et $AB+BC+AC$ = $7+1+8$ = $16$.
Il semble donc que $16$ soit la borne inférieure des valeurs du périmètre de $ABC$. On trouve aussi que le maximum de $f$ est proche de $f(112,129) \approx 20,93$.
On peut représenter graphiquement la fonction $y \mapsto f(x,y)$ pour $x$ fixé et on voit que cette fonction est croissante puis décroissante.
On peut aussi représenter la fonction $f$ dans un graphique à 3 dimensions.
Avis de recherche du n°204
Nous vous avions proposé un exercice type sangaku.
Soit 2 carrés côte à côte, on trace 2 segments (voir la figure) et on obtient une zone hachurée.
Déterminer l’aire de cette surface hachurée.
Solution de cet avis de recherche
René Drucker nous a envoyé une solution que nous reproduisons ci-dessous.
Soit 2 carrés de côtés $k$ et $c$, avec $c$ < $k$ (voir la figure).
$\mathscr{A}_x$ l’aire à déterminer, $\mathscr{A}_h$ et $\mathscr{A}_b$ les « compléments » de $\mathscr{A}_x$ dans le carré de côté c.
On a $\mathscr{A}_x$ = $c^2 - (\mathscr{A}_b + \mathscr{A}_h)$.
Par homothétie de centre $C$ on peut calculer $\mathscr{A}_b$ et $\mathscr{A}_h$ :
$\dfrac{\mathscr{A}_b}{\mathscr{A}(CK_0K_1)}$ = $\Big(\dfrac{c}{c+k}\Big)^2$, $\dfrac{\mathscr{A}_h}{\mathscr{A}(CTK_2)}$ = $\Big(\dfrac{c}{k}\Big)^2$
et
$\mathscr{A}(CK_0K_1)$ = $\dfrac{k(c + k)}{2}$, $\mathscr{A}(CTK_2)$ = $\dfrac{c \times k}{2}$
donc
$\mathscr{A}_b$ = $\dfrac{1}{2} k(c + k) \times \Big(\dfrac{c}{c+k}\Big)^2$ = $\dfrac{c^2 \times k}{2(c + k)}$
$\mathscr{A}_h$ = $\dfrac{1}{2} c \times k \times \Big(\dfrac{c}{ k}\Big)^2$ = $\dfrac{c^3}{2k}$
et
$\mathscr{A}_b$ + $\mathscr{A}_h$ = $\dfrac{c^2 \times k}{2(c + k)} + \dfrac{c^3}{2k}$ = $\dfrac{c^2}{2} \times (\dfrac{k}{c+k} + \dfrac{c}{k} )$ = $\dfrac{c^2}{ 2} \times \Big(\dfrac{c^2 + c \times k + k^2}{k(c + k)}\Big)$
d’où :
$\mathscr{A}_x$ = $c² - \dfrac{c²}{ 2} \times \Big(\dfrac{c^2 + c \times k + k^1}{k(c + k)}\Big)$ = $\dfrac{c^2}{2} \Big(1 - \dfrac{c^2}{k(c+k)}\Big)$
Nouvel avis de recherche
Un problème de partage pour les vacances.
Lu dans PLOT n°41 (décembre 1987, page 43) ce problème pour le cas $n$ = $3$. Et si on généralisait ?
Un triangle. Trois droites qui joignent les sommets aux points qui divisent les côtés dans le rapport $\dfrac{1}{n}$.
Que dire du triangle ainsi formé ?
Nous attendons vos solutions que nous aurons plaisir à lire, et si, de plus, vous avez des problèmes à soumettre à la sagacité de nos lecteurs et lectrices, ainsi que des compléments sur des avis précédents, écrivez-nous à l’adresse des problèmes des Chantiers.
Les chantiers de pédagogie mathématique n°205 juin 2025
La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS