Sylviane Schwer est directrice de l’IREM Paris Nord et professeure à l’Université Sorbonne Paris Nord. Elle nous avait parlé de l’Histoire de la numération dans nos Chantiers et nous lui avons demandé de nous donner des éléments historiques pour mieux cerner les usages de la virgule qui intervient dans l’écriture décimale.

La virgule dans la langue française

Jusqu’au milieu du XX^e siècle, l’article « virgule » des dictionnaires usuels ne comporte aucune définition liée aux mathématiques. La définition concerne dès le moyen français le signe de ponctuation, à laquelle s’ajoute petite pousse, petite verge, baguette, réprimande (moyen français), terme d’horlogerie (montre à virgule) et terme de bactériologie (bacille à virgule — choléra asiatique).

Dans le grand Larousse de la langue Française de 1989, l’article « virgule » (tome 7, pages 6392 et 6393) donne comme première définition :

signe de ponctuation ayant la forme d’un trait courbé vers la gauche (,), qu’on place à droite et vers le bas des mots pour séparer les membres d’une phrase et indiquer la plus légère pause, ou encore pour séparer les chiffres représentant un nombre entier et ceux qui correspondent à ses décimales.

Dans la version actualisée du dictionnaire Larousse en ligne, les deux contextes sont séparés. La version nombre est celle d’un « signe servant à séparer, dans la notation décimale d’un nombre, partie entière et partie décimale. », définition que dénonçait en 1999 Michel Suquet dans le n°100 des chantiers (page 8) qui figurait dans tous les manuels disponibles en 1999 pour l’école ou le collège.

Puisque l’intérêt des nombres décimaux se justifie par son usage pour traiter des « grandeurs », il est intéressant d’aller voir du côté du Bureau international des poids et mesures. Dans sa 9^e Conférence générale, résolution 7 (1948), avait été décidé que « Dans les nombres, la virgule (usage français) ou le point (usage britannique) sont utilisés seulement pour séparer la partie entière des nombres de leur partie décimale », et non pour marquer les puissances de mille dans les grands nombres. La 22^e édition 2003 n’a toujours pas tranché et déclare encore que « le symbole du séparateur décimal pourra être le point sur la ligne ou la virgule sur la ligne », refusant ainsi de trancher entre les usages.

Les usagers de la virgule décimale baignent donc largement dans une vision de la virgule comme séparateur et non comme marqueur. Quant aux élèves qui découvrent l’usage mathématique de la virgule, elles et ils ont déjà une certaine intimité d’une part avec son usage textuel et d’autre part — certes dans une moindre mesure — avec les fractions, c’est-à-dire deux entiers écrits l’un sur l’autre séparés par un petit trait horizontal.

C’est pourquoi il nous est apparu intéressant de revenir sur l’histoire de ce petit signe.

Origine des signes de ponctuation

Dans l’antiquité gréco-latine, les textes ne comportaient aucun signe de ponctuation, sauf parfois des points pour séparer les mots entre eux, car l’usage des abréviations était courant. Pour marquer les fins de propositions, l’usage était de placer le verbe en dernière position, comme on peut le voir Figure 1 [1].

C’est Aristophane de Bizance (257 — vers 180 AEC [2]), conservateur de la bibliothèque d’Alexandrie, qui, pour aider les copistes à transcrire des textes qu’ils ne comprenaient pas toujours, définit trois niveaux de points :

• stigmé teleia  (point final/parfait/complet)
  placé à l’extrémité supérieure de la dernière lettre d’un mot pour indiquer la fin de la phrase, une pensée achevée, d’où marquait un retour à la ligne, c’est notre point, qui marque un temps long de silence dans la lecture.
• stigmé mésé  (point médian)
  une respiration, entre deux propositions qui relèvent de la même pensée, c’est notre point-virgule, qui marque un temps moyen de silence.
• hypostigmé (point inférieur)
  indique une pensée qui demeure incomplète, et doit être complétée, c’est notre virgule, qui marque un temps bref.

En grec, stigmé signifie « piqûre, marque faite par un instrument pointu, piqûre, point » issu du verbe stizô, qui signifie marquer, distinguer (tatouer). Cette définition décrit à la fois la fonction de marquage et son rôle de didascalie indiquant l’intonation et le rythme de la lecture orale du texte [3].

Le latin va séparer ces deux sens par deux mots distincts. Le premier est distintio, traduction directe du terme grec pour décrire la finalité de l’action. L’action concrète d’insertion est décrite par un mot original, interpunctio. Le point inférieur devient un trait penché (/) ; proche de la virgula, ou « petite verge » et est utilisé pour marquer les passages défectueux, donc incomplets.

Au Moyen Âge, la ponctuation garde ce rôle essentiellement oratoire, et n’est toujours que le fait des copistes, et non des auteurs. Les copistes, principalement moines issus de différentes cultures et dont certains sont itinérants, usent de collections diverses de signes permettant d’améliorer chacune l’intelligibilité du texte, mais qui leur est propre. Une même copie, écrite par plusieurs copistes successifs, peut contenir des marques différentes pour signifier la même chose ou une même marque pour signifier des choses différentes. Du XV^e au XVII^e siècle, les copies sont produites non plus majoritairement dans les monastères, mais chez des imprimeurs.

Ce sont les libraires et les typographes qui vont prendre les choses en main à l’occasion de l’arrivée de l’imprimerie. En 1496, parait à Venise pour la première fois une édition imprimée contenant les signes de ponctuation que l’on connaît (Figure 2). Il s’agit d’un traité en latin relatant un voyage au sommet de l’Etna publié par Alde Manuce ( 1450-1550), un des plus grands imprimeurs humanistes. La standardisation de la ponctuation est en route.

En France, Geoffroy Tory (Bourges,1480 — Paris,1533), imprimeur-libraire et éditeur humaniste, publie en 1529 le premier traité de grammaire, d’orthographe et de typologie française, Champ fleury. Il introduit les trois points nécessaires à la ponctuation : « points Quarre, Crochu, & Triangulaire ». Le point crochu, ou crochet correspond à la virgule. En 1540, Étienne Dolet [4] publie le premier traité de la punctuation de la langue francoyse. Il y définit six marques, dont la première est « appelée en latin incisum, et en français — principalement en l’imprimerie — on l’appelle point à queue ou virgule ».

À partir de la Renaissance, les auteurs commencent à se préoccuper de ponctuation. Au XVIII^e siècle, le grammairien Nicolas Beauzée (Verdun 1717, Paris 1789) rédige l’article « ponctuation » de l’Encyclopédie de Diderot. Long de 9 pages, il développe les trois rôles de la ponctuation :

• prosodique (rythme, modulation),

• sémantique (distinction des sens partiels),

• syntaxique (subordination).

La virgule en est le premier signe développé sur 4 pages. On y trouve les trois principaux usages actuels, résumés et désignés comme opérations mathématiques sur le site linguistique québécois :

•  Addition
  juxtaposition ou coordination des mots ou groupes de mots qui ont le même statut grammatical : « Anne, Bob, Claire, Denis et Eve ont reçu les félicitations du jury » ;
•  Soustraction
  encadrement d’incises explicatives que l’on pourrait supprimer : « L’accusé, droit dans ses bottes, a rejeté toutes les accusations » ;
• Inversion
  déplacement d’un segment par rapport à l’ordre normal de la phrase Sujet Verbe Complément : « hier, il a plu toute la journée ».

Notons que l’oubli des virgules dans la soustraction peut changer le sens de la proposition. Par exemple la proposition « Les députés incompétents ne furent pas réélus. » ne parle que des députés incompétents alors que la proposition « Les députés, incompétents, ne furent pas réélus. » concerne tous les députés.

Rappelons également que la virgule, comme signe de ponctuation, indique toujours une brève durée dans le flux du discours.

En conclusion, d’une part la virgule, comme élément de ponctuation du discours rhétorique, assure toujours son rôle de didascalie, c’est-à-dire qu’elle n’est pas nommée dans le flux du discours, et que dans le texte écrit, elle n’est précédée d’aucun espace, mais précède un espace normal ; d’autre part, pour répondre à notre question, elle possède actuellement les deux aspects, à la fois séparateur et indicateur.

Les systèmes alphabétiques

Nous décrivons les systèmes alphabétiques, car celui utilisé par les Grecs utilise systématiquement la virgule, puis les systèmes positionnels indo-arabe pour l’expression des grands nombres.

Les systèmes alphabétiques utilisent les lettres alphabétiques — dans l’ordre de récitation — pour écrire généralement les nombres des unités, les dizaines et les centaines. Il faut donc 27 lettres différentes. Si l’alphabet utilisé est insuffisant, des symboles spéciaux sont ajoutés. Par exemple, si l’on utilisait notre alphabet pour écrire les nombres de 1 à 999 [5], il faudrait ajouter un nouveau symbole, par exemple $\lozenge$ pour compléter (Tableau 1).

Ainsi 169 s’écrirait $soi$, terme qui est lui-même un mot du vocabulaire français. Ainsi, les systèmes utilisant des lettres alphabétiques pour écrire les nombres doivent — même si en général le contexte suffit à lever l’ambiguïté — signaler que le mot lu réfère à un nombre. Les signes diacritiques ou de ponctuation sont alors utilisés.

Par exemple, au III^e siècle avant l’ère commune, le système ionien, qui repose sur l’alphabet (grec) [6], se généralise à Athènes et à Alexandrie. Pour signaler l’écriture d’un nombre, son expression commence par une virgule et se termine par une apostrophe, ou virgule en exposant. Ainsi, 169 s’écrit $\textrm{,} \rho \xi \theta \textrm{’}$ ou avec notre alphabet $\textrm{,} soi \textrm{’}$.

Avec les chiffres romains

Les chiffres romains viennent de la numération étrusque, par exemple, V — qui désigne 5 — provient du symbole étrusque $ \land $. À partir du IV^e siècle, le passage de l’écriture en capitale à l’écriture minuscule — plus rapide à écrire avec une plume — rend plus difficile la lecture des nombres à l’intérieur du texte, il est donc encadré par des points [7] ou des virgules tant que la ponctuation n’a pas été régulée. L’encadrement par les points devient alors la règle qui perdure avec l’usage de la numération indo-arabe (Figures 3 et 4).

Les systèmes positionnels indo-arabes

Pour les nombres jusqu’à mille ou dix-mille, il n’y a pas lieu d’utiliser de ponctuation, car lire une séquence de trois ou quatre chiffres relève de la subitisation. En revanche, pour les séquences plus longues, un regroupement par tranches de trois (milliers) ou quatre chiffres (myriades) à partir des unités est nécessaire pour aider à la lecture.

En latin dans les langues romanes et anglo-saxonnes, le regroupement par trois a été adopté, issu/suivi ou non d’un regroupement en deux tranches de trois, selon que l’on utilise l’échelle courte ou longue.

Les Grecs, les Chinois et les Japonais utilisent le regroupement par quatre.

De nos jours

Actuellement, les Anglais et les Américains utilisent des virgules pour séparer les groupes de trois, les Allemands des points. Depuis octobre 1948, ces deux séparateurs sont interdits par le Bureau International des poids et mesures car en compétition avec « le séparateur décimal ». En France, dès 1950, l’Association française de normalisation adopte cette règle qui fera l’objet d’une publication au Journal Officiel n°0297 le 23 décembre 1975 [8] !

Dans les nombres, la virgule est utilisée seulement pour séparer la partie entière des nombres de leur partie décimale. Pour faciliter la lecture, les nombres peuvent être partagés en tranches de trois chiffres (à partir de la virgule s’il y en a une) ; ces tranches ne sont jamais séparées par des points ni par des virgules. La séparation en tranche n’est pas employée pour les nombres de quatre chiffres désignant une année.

Les Suisses satisfont la règle en utilisant des apostrophes !

Dans les traités d’arithmétique anciens

À partir du XIII^e siècle, dans les milieux marchands et comptables apparaissent des maîtres d’« abaques » et des traités d’arithmétique contenant les nouvelles procédures de calcul — nommées « algorismes » ou « livre d’abaque » — que permet l’introduction des chiffres indo-arabes afin d’apporter les éléments mathématiques nécessaires au bon déroulement des opérations économiques.

Ces traités sont écrits en langue vernaculaire afin d’être accessibles au plus grand nombre. Ils contiennent tous un chapitre de numération avec une description de la représentation des grands nombres — c’est-à-dire dépassant le million — en chiffres indo-arabes et avec des jetons sur l’abaque, l’auxiliaire de calcul utilisable aussi bien à partir de l’écriture en chiffres romains, encore largement répandue, ou en chiffres indo-arabes.

Les grands nombres permettent aussi la pratique des comptes calendaires et astronomiques. Ces traités peuvent contenir, comme celui de Chuquet, des éléments d’arithmétiques abstraites.

En France

À Pamiers, dans l’Ariège vers 1430, d’un auteur inconnu, un traité arithmétique manuscrit en une langue d’oc. Le million — milio — y est défini comme la dénomination vulgaire de mille mille (Figure 4 : « Car un milio es miell millie »). Les tranches de milliers sont séparées par un espace et numérotées comme dans l’exemple suivant (Figure 4 : indexation des groupements par 3).

À Paris, en 1475, le traité d’arithmétique de Jehan Adam, secrétaire de Nicolle Tilhart, notaire, secrétaire et auditeur des comptes du roi Louis XI. Dans ce manuscrit, écrit en moyen-français (langue d’oïl), Jehan Adam s’adresse aux comptables, qui travaillent essentiellement avec les chiffres romains et les abaques à jetons pour calculer. Il emploie l’échelle longue jusqu’à trimillion pour nommer les rangs des vingt lignes de l’abaque qu’il utilise dans son traité, qui correspond aux rangs des systèmes de position décimaux comme celui de la numération indo-arabe (Figure 6).

L’écriture des nombres dans les énoncés est très libre, on utilise fréquemment vingt (XX), cent (C) et mille (M) en exposant, les millions peuvent être écrits en toutes lettres. Il s’agit en fait de transmettre le nombre oralement à celui qui manipule l’abaque à jetons, donc l’écriture doit être la plus aisée à lire pour le lecteur. Ainsi, le nombre exemple de 745 324 804 300 700 023 654 321 (voir le paragraphe suivant) pouvait-il s’écrire :

Vij^C.XXXXV. mil .iii^C.xxiiii. trimillion .viii^C.iiii. mil .CCC. bimillion .vii^C. mil .xxiii. million .vi^C.liiii. mil .iii^C.xxi.

Notons que pour les nombres rompus, ou ayant une partie fractionnaire inférieure à l’unité, si la partie entière est écrite en chiffres romains, la partie fractionnaire est toujours écrite en chiffres indo-arabes, numérateur et dénominateur séparés par un trait horizontal comme pour diviser $\textrm{.mcc.}$ par $\textrm{.iiii}^\textrm{C}\textrm{.xxx.}$ qui vaut « $\textrm{.ii.}$ et $\frac{340}{430}$ ».

À Lyon, en 1484, le triparty en la science des nombres de Nicolas Chuquet. Dans ce traité, Nicolas Chuquet expose le système actuel de l’échelle longue en expliquant comment dire un nombre écrit en chiffres indo-arabes. Il regroupe les chiffres par tranche de six chiffres, ce qui nécessite d’abord de savoir dire les nombres de 1 à 999 mille 999, puis d’apprendre le nom des puissances successives de million qu’il donne jusqu’à la puissance 9 :

Et pour plus facilement dire un grand nombre, l’on peut diviser les chiffres en bloc de six en commençant toujours à droite et sur chaque premier chiffre de droite de chaque bloc, excepté le premier, l’on peut mettre un petit point. Et il faut savoir que tous les chiffres depuis le premier point jusqu’au second concernent les millions, du second point au troisième point concernent les millions de millions et ceux du troisième au quatrième sont millions de millions de millions. Et ainsi des points suivants en répétant ce terme million autant de fois qu’il y a de points. Mais l’on peut aussi mettre $\textrm{.1.}$ au lieu du premier point et $\textrm{.2.}$ au lieu du second et $\textrm{.3.}$ au lieu du troisième et $\textrm{.4.}$ au lieu du quatrième qui auront même signification que les points. Le premier point signifie million ; le second point billion ; le troisième point trillion ; le quatrième quadrillion ; le cinquième quintillion ; le sixième sextillion ; le septième septillion ; le huitième octillion ; le neuvième nonillion et ainsi de suite.

L’exemple donné utilise les points au-dessus des unités de chaque tranche millions (Figure 5).

Il y a donc conservation des points initial et terminal de l’expression indo-arabe du nombre et signalisation par un point de chaque unité des tranches de millions. La numérotation explicite des tranches « millions » n’est pas représentée. Elle est similaire au traité précédent, avec des tranches deux fois plus longues, avec une indexation des puissances de million par Chuquet :

$$ ⋅74532\overset{3}{4}80430\overset{2}{0}70002\overset{1}{3}654321⋅ $$

Notons que « $0$ », qui n’est pas encore entré dans le panthéon des nombres — ce n’est encore qu’un simple symbole appelé chiffre pour marquer l’absence de quantité associée à l’unité de compte du rang considéré, alors que les symboles 1 à 9 sont des figures désignant des quantités — n’est pas utilisé pour l’énumération des tranches. On commence toujours à compter par 1, qui n’est pas vraiment un nombre mais « commencement » du nombre.

Pour la Grande-Bretagne, l’Écosse et l’Irlande

Robert Recorde (1510-1558) est un médecin et mathématicien Galois du XVI^e siècle. Médecin d’Édouard VI puis de la reine Marie, il fut également Contrôleur de la Monnaie Royale ainsi que des Mines et Monnaies d’Irlande. Il est le premier à introduire l’algèbre dans les trois royaumes et pratiquement le fondateur de l’école mathématique anglaise.

Fin pédagogue, il écrivit un ensemble de traités mathématiques pour couvrir tout le cursus mathématique des tout débutants aux meilleurs spécialistes, tous en langue vernaculaire, ce qui l’obligea à introduire un lexique anglais de mathématiques, qui n’a pas survécu, excepté le signe « = » [9]. Le premier volume du cursus est The Ground of Arts publié pour la première fois à Londres en 1543, il sera réédité plus de 45 fois jusqu’en 1700.

Robert Recorde y propose de séparer les tranches de trois chiffres par des barres verticales :

$$ .230|864|089|105|340. $$

Il conserve l’encadrement des nombres par des points, alors que l’emploi des chiffres indo-arabes ne les rend plus nécessaires pour distinguer les expressions chiffrées des nombres des mots usuels. Cela nous laisse supposer que le point final a été conservé dans la notation des nombres décimaux pour signifier la fin de la partie entière du nombre, et que les barres ont été transformées en virgule. Le point initial a été abandonné, n’ayant plus de fonction nécessaire.

Les grands nombres dans la description des abaques dans les traités d’arithmétique anciens

Nous ne pouvons pas terminer cette première partie sans jeter un coup d’œil sur la façon dont on gère la lecture des grands nombres avec les abaques.

Dans les décompositions en puissance de mille, il est d’usage de mettre une * sur la ligne des puissances de mille comme chez Recorde [10] (Figure 6).

Dans la décomposition en puissances de million, il est courant de marquer chaque ligne par son mot-nombre. À droite de la figure, nous remarquons que les lignes sont implicites, seulement figurées par un jeton.

Pour aller plus loin

• Tournier Claude. Histoire des idées sur la ponctuation, des débuts de l’imprimerie à nos jours
  in : Langue française, n°45, 1980. La ponctuation pp. 28-40

• Sylviane Schwer. Du bon usage de la virgule
  atelier des Journées Nationales 2023 à Rennes

Les chantiers de pédagogie mathématique n°204 avril 2025
La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS