Les propriétés en 6e
Il y a quelques années, je me suis demandé si ma façon d’introduire les fractions en 6e permettait de démontrer les règles de calcul étudiées par la suite en 5e, 4e et 3e.
Mais, avant d’en dire plus, précisons ces règles de base.
Avec des élèves de 6e, je commençais des exercices de partages en parts égales, ce qui n’est pas acquis par tous les élèves à l’entrée en 6e.
On obtient ainsi des unités rompues, pour reprendre une terminologie employée au Moyen-Âge en Europe : $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{5}$, etc.
En conséquence, une fraction est un nombre entier d’unités rompues. Par exemple, $\dfrac{3}{4}$ c’est 3 fois $\dfrac{1}{4}$. Oralement, trois quarts est égal à trois fois un quart.
Plus tard, dans l’année, le lien est fait entre la division et les fractions : $\dfrac{a}{b}$ et $a:b$ désignent le même nombre.
On a donc 3 propriétés de base :
Pour tous nombres $a$ et $b$ :
| B1 | $\dfrac{1}{b} \times b$ = $1$ avec $b \ne 0$ |
| B2 | $\dfrac{a}{b}$ = $a \times \dfrac{1}{b}$ avec $b \ne 0$ |
| B3 | $a:b$ = $\dfrac{a}{b}$ avec $b \ne 0$ |
Les autres propriétés des fractions
Toujours en 6e, on aborde les propriétés suivantes.
Pour tous nombres $a$ et $b$ :
| R1 | $\dfrac{a}{b} \times b$ = $a$ avec $b \ne 0$ |
| R2 | $a:a$ = $\dfrac{a}{a}$ = $1$ avec $a \ne 0$ |
| R3 | $\dfrac{1}{1}$ = $1$ |
| R4 | $\dfrac{a}{1}$ = $a$ |
Et au cours des années suivantes, les différentes règles de calcul avec des fractions sont travaillées. Ce qui se traduit par les 5 règles suivantes.
Pour tous nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ :
| R5 | $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b}$ = $\dfrac{a + c}{b}$ avec $b \ne 0$ |
| R6 | $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d}$ = $\dfrac{a \times c}{b \times d}$ avec $b \ne 0$ et $d \ne 0$ |
| R7 | $\dfrac{a}{b} \times c$ = $\dfrac{a \times c}{b}$ avec $b \ne 0$ |
| R8 | $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{a}$ = $1$ avec $b \ne 0$ et $a \ne 0$ |
| R9 | $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d}$ = $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$ avec $b \ne 0$, $c \ne 0$ et $d \ne 0$ |
Les règles de base sont-elles suffisantes ?
Pour le savoir, on peut essayer de démontrer les différentes propriétés R à partir des règles de base B, en ajoutant quelques règles habituelles de calcul : distributivité, associativité, commutativité et multiplication par $1$.
Pour tous nombres $a$, $b$ et $c$ :
| D | $(a + b) \times c$ = $a \times c + b \times c$ |
| A | $(a \times b) \times c$ = $a \times (b \times c)$ = $a \times b \times c$ |
| C | $a \times b$ = $b \times a$ |
| E | $a \times 1$ = $a$ |
Démontrons R1 :
Soient $a$ et $b$ deux nombres avec $b \ne 0$.
$\dfrac{a}{b} \times b$ = $(a \times \dfrac{1}{b}) \times b$ = $a \times (\dfrac{1}{b} \times b)$ = $a \times 1$ = $a$
en utilisant successivement les propriétés B2, A, B1 et E.
Démontrons R2 :
Soit $a$ un nombre avec $a \ne 0$.
$a : a$ = $\dfrac{a}{a} $ = $a \times \dfrac{1}{a}$ = $\dfrac{1}{a} \times a$ = $1$
en utilisant successivement les propriétés B3, B2, C et B1.
Démontrons R3 :
D’après B1, $\dfrac{1}{1} \times 1$ = $1$ et d’après E, $\dfrac{1}{1} \times 1$ = $\dfrac{1}{1}$.
On a donc $\dfrac{1}{1}$ = $1$.
Démontrons R4 :
Soit $a$ un nombre.
$\dfrac{a}{1}$ = $a \times \dfrac{1}{1}$ = $a \times 1$ = $a$
en utilisant successivement les propriétés B2, R3 et E.
Démontrons R5 :
Soient les nombres $a$, $b$ et $c$ avec $b \ne 0$.
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b}$ = $a \times \dfrac{1}{b} + c \times \dfrac{1}{b}$ = $(a + c) \times \dfrac{1}{b}$ = $\dfrac{a + c}{b}$
en utilisant successivement les propriétés B2, D et B2.
Démontrons R6 :
Soient les nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ avec $b \ne 0$ et $d \ne 0$.
$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d}$ = $a \times \dfrac{1}{b} \times c \times \dfrac{1}{d}$ = $a \times c \times \dfrac{1}{b} \times \dfrac{1}{d}$
en utilisant B1 puis A et C.
Or d’après R1, $a \times c$ = $ \dfrac{a \times c}{b \times d} \times b \times d$.
Donc $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d}$ = $ \dfrac{a \times c}{b \times d} \times b \times d \times \dfrac{1}{b} \times \dfrac{1}{d}$ = $\dfrac{a \times c}{b \times d} \times b \times \dfrac{1}{b} \times d \times \dfrac{1}{d}$.
Avec à nouveau R1, $b \times \dfrac{1}{b}$ = $1$ et $d \times \dfrac{1}{d}$ = $1$.
Donc $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d}$ = $\dfrac{a \times c}{b \times d} \times 1 \times 1$ = $\dfrac{a \times c}{b \times d}$
en utilisant E.
Démontrons R7 :
Soient les nombres $a$, $b$ et $c$ avec $b \ne 0$.
$\dfrac{a}{b} \times c$ = $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{1}$ = $\dfrac{a \times c}{b \times 1}$ = $\dfrac{a \times c}{b}$
en utilisant R4 puis R6 et enfin E.
Démontrons R8 :
Soient les nombres $a$ et $b$ avec $a \ne 0$ et $b \ne 0$.
$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{a}$ = $\dfrac{a \times b}{b \times a}$ = $\dfrac{a \times b}{a \times b}$ = $1$
en utilisant R6, C et R2.
Démontrons R9 :
Soient les nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ avec $b \ne 0$, $c \ne 0$ et $d \ne 0$.
D’une part, d’après R1, $\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}} \times \dfrac{c}{d}$ = $\dfrac{a}{b}$.
Multiplions les deux membres de cette dernière égalité par $\dfrac{d}{c}$ et utilisons R8 puis E :
$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$ = $\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}} \times \dfrac{c}{d} \times \dfrac{d}{c}$ = $\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}} \times 1$ = $\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}$.
Or, d’autre part, d’après B3, $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d}$ = $\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}$.
On a donc $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d}$ = $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$.
Ainsi, on peut dire que les règles de base sont suffisantes pour démontrer les règles de calcul concernant les fractions.
Conclusion
Fonder les fractions et les calculs les concernant sur les règles élémentaires abordées en 6e assure une cohérence de l’ensemble de cette partie, du moins formelle.
Comme vous l’avez sans doute remarqué, je n’ai pas explicité l’ensemble des nombres pour lesquels les règles sont établies. Ce travail sur les fondements des mathématiques a été abordé à la fin du XIXe siècle et s’est poursuivi une grande partie du XXe siècle. Dans la scolarité actuelle, il n’est travaillé qu’à partir de l’université.
À part pour R9 qui concerne la division, on pourrait se contenter de rester dans l’ensemble des nombres entiers positifs, ce qui est le cas d’un grand nombre d’exercices proposés au collège. Cependant, il est important d’étendre les calculs proposés aux élèves à l’ensemble des nombres décimaux.
Pour les démonstrations, j’ai utilisé des nombres représentés par des lettres. On pourrait se contenter d’utiliser des nombres particuliers comme 2 et 3 sans que cela ne gêne la généralité des résultats obtenus. C’est d’ailleurs ce qui est fait en géométrie en prenant un triangle $ABC$ pour suivre le raisonnement qui démontre la propriété pour n’importe quel triangle.
Ainsi, pour la propriété R1, prenons les nombres 2 et 3 :
$\dfrac{2}{3} \times 3$ = $(2 \times \dfrac{1}{3}) \times 3$ = $2 \times (\dfrac{1}{3} \times 3)$ = $2 \times 1$ = $2$.
Cela pouvant être écrit avec n’importe quels autres nombres (à part pour $0$ s’il est au dénominateur), on peut donc affirmer que R1 est établie pour tous nombres $a$ et $b$ avec $b \ne 0$.
Les chantiers de pédagogie mathématique n°205 juin 2025
La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS