En pénétrant l’autre soir dans le local de la Régionale, notre Président, a constaté que des intrus, curieux de la chose mathématique, avaient laissé des traces. D’après celles de leurs boueuses chaussures, ils étaient au plus quatre, notés provisoirement {$a$, $b$, $c$, $d$}. D’après les cendres de cigare abandonnées sur place et Sherlock Holmés ayant été consulté, ils auraient été au plus cinq notés {$x$, $y$, $z$, $t$, $u$}.

L’enquête a été aussitôt ouverte. Une piste est donnée par les identifications suivantes :

$a$ = $b$ = $z$,  $c$ = $x$ = $y$,  $d$ = $t$ = $u$

Mais beaucoup d’autres pistes s’ouvrent : combien ?

Et puis, à quoi bon identifier les intrus ? La Régionale Parisienne n’est-elle pas ouverte à toutes les personnes intéressées par l’enseignement mathématique ? M. Messmer lui-même ? Pourquoi pas !

PB 1
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels premiers entre eux. Soit $S$ la partie stable de $(\mathbb{N},+)$ engendrée par $a$ et $b$. Montrer que $S$ contient tous les entiers naturels à partir d’un certain d’entre eux, $n_0$, que l’on calculera en fonction de $a$ et $b$.

PB2
Soit un quadrilatère convexe $ABCD$. On donne les angles $\widehat{BAC}$ = 60°, $\widehat{CAD}$ = 20°, $\widehat{ABD}$ = 50°, $\widehat{DBC}$ = 30°. Calculer l’angle $\widehat{ACD}$.

PB3
Un train parcourt un certain trajet à une vitesse moyenne de 100 km/h. Il peut accélérer, ralentir, s’arrêter, mais on supposera qu’il ne fait jamais marche arrière. La durée du trajet, en heures, est égale à $t$ (nombre réel positif). Pour quelles valeurs de $t$ peut-on être certain qu’il existe durant le trajet un laps de temps de une heure pendant laquelle le train a parcouru exactement 100 km ?

$n$ roues dentées sont emboîtées de façon à former une chaîne fermée. On essaye de faire tourner l’une des roues. Le système se mettra-t-il en mouvement ?

Quel est le maximum de l’aire d’un triangle inscrit dans un cercle de rayon $R$ ?

Quel est le maximum de l’aire d’un triangle inscrit dans un parallélogramme d’aire $\mathscr{A}$ ?

Quel est le maximum de l’aire d’un rectangle inscrit dans un triangle d’aire $\mathscr{A}$ ?

 
En fabriquant un modèle de sphère, il est question de découper des fentes, perpendiculairement au diamètre d’un demi-disque et de longueur la moitié de la corde : ces points sont sur une demi-ellipse.

Laissant aller mon compas, en vue de reporter ces longueurs, j’ai tracé des cercles centrés sur le diamètre et passant par ces points.

La question que je me suis posée est : quelle est l’enveloppe de tous ces cercles lorsque M décrit le diamètre ?

Le problème n° 50 (Affaire de logique, Le Monde) consiste à trouver une suite de 1997 nombres entiers consécutifs dont aucun n’est premier. C’est plutôt simple, car il suffit de prendre 1998 ! + 2 et ses successeurs. Mais saurez-vous trouver un plus petit nombre que 1998 ! + 2… et même le plus petit tant que vous y êtes ?

D’un champ je tire 4 chars de grain par unité (d’aire) et d’un autre 3. Le premier champ m’a fourni 50 chars de plus que le second. Les deux champs font 30 unités. Combien ai-je de chars ? (Époque babylonienne)

3 épis supérieurs, 2 moyens et 1 faible fournissent 39 paniers. 2 épis supérieurs, 3 moyens et 1 faible fournissent 34 paniers. 1 épi supérieur, 2 moyens et 3 faibles fournissent 39 paniers. Combien donne chaque épi ? (Chine, 3^e siècle)

Une démonstration de l’irrationalité de $\sqrt{2}$ utilisant l’écriture décimale est la suivante :
Supposons que $\sqrt{2}$ soit rationnel : il existe donc 2 entiers $m$ et $n$ tels que $\sqrt{2} = \dfrac{m}{n}$ avec $m$ et $n$ premiers entre eux. On a donc $2n^2 =m^2$.
L’écriture décimale d’un carré ne peut se terminer que par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9 et l’écriture de son double que par 0, 2 ou 8.
Comme $2n^2 =m^2$ l’écriture de $m^2$ (et par conséquent celle de $m$) ne peut se terminer que par 0. Si l’écriture de $2n^2$ se termine par 0, celle de $n^2$ (et donc celle de $n$) se termine par 0 ou 5.
Ce qui montre que $m$ et $n$ sont divisibles par 5 et cela conduit à une contradiction avec $m$ et $n$ premiers entre eux.

N.D.L.R. : on pourrait penser faire cette démonstration dans d’autres bases que la base 10, notamment la plus simple : la base 2. Malheureusement cela ne fonctionne pas. En effet l’écriture en base 2 d’un carré ne peut se terminer que par 0 ou 1 et l’écriture de son double que par 0. Comme $2n^2 =m^2$, l’écriture de $m^2$ (et par conséquent celle de $m$) ne peut se terminer que par 0. Si l’écriture de $2n^2$ se termine par 0, celle de $n^2$ (et donc celle de $n$) se termine par 0 ou 1 donc on ne peut relever aucune contradiction… (tout au moins avec ce même raisonnement simple, car on pourrait toujours faire une parodie de la démonstration grecque basée sur le pair et l’impair).

Par contre cela marche très bien en base 3 : l’écriture en base 3 d’un carré ne peut se terminer que par 0 ou 1 et l’écriture de son double que par 0 ou 2. Comme $2n^2 =m^2$ l’écriture de $m^2$ (et par conséquent celle de $m$) ne peut se terminer que par 0. Si l’écriture de $2n^2$ se termine par 0, celle de $n^2$ (et donc celle de $n$) se termine par 0. Ce qui montre que $m$ et $n$ sont divisibles par 3, ce qui apporte une contradiction à l’hypothèse $m$ et $n$ premiers entre eux.

À partir de là, c’est parti : les mathématiques "expérimentales" prouvent que ce n’est pas possible d’utiliser cette démonstration dans les bases 2, 7, 14, 17, 23, 31, 34… Y aurait-il une loi ? Qui a envie de continuer ?

Que vous inspire la figure ci-dessous ?

L’aveugle a les jetons

On annonce à un aveugle qu’il a devant lui un certain nombre de jetons de reversi (une face blanche et l’autre noire) dont 10 sont sur la face blanche et les autres…sur la face noire bien sûr.

L’aveugle annonce alors qu’il est capable de répartir ces jetons en deux tas contenant chacun le même nombre de jetons sur la face blanche.

Comment va-t-il s’y prendre en utilisant seulement la force de sa logique ?

Question n°1

Deux triangles ayant la même aire et le même périmètre sont-ils forcément isométriques ?

Question n°2

Un triangle ayant deux bissectrices de même longueur est-il forcément isocèle ?

Question n°3

Existe-t-il des nombres $N$ à 6 chiffres (en écriture décimale) tels que $N$, 2$N$, 3$N$, 4$N$, 5$N$ et 6$N$ s’écrivent avec les mêmes chiffres différents non nuls ?

Question n°4

Existe-t-il des triangles dont les côtés sont mesurés par des nombres entiers consécutifs et dont un angle est le double d’un autre ?

Question n°5

L’ensemble des entiers naturels qui ne sont pas somme d’au moins deux entiers naturels consécutifs est-il infini ?

Question n°6

Étant donné un quadrilatère est-il possible de construire un carré circonscrit à ce quadrilatère (i.e. chaque sommet du quadrilatère appartient à un côté du carré ou à son prolongement) ?

Question n°7

Existe-t-il un entier $n \gt 1$ tel que $S_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \cdot + \dfrac{1}{n}$ soit un nombre entier ?

Question en suspens…
Quelle est la valeur exacte du plus petit entier $n$ tel que $S_n \gt 1{\,}000$ ?

Question n°8
Existe-t-il des triangles rectangles à côtés entiers dont l’aire et le périmètre sont mesurés par le même nombre…

Question n°8 bis
Existe-il beaucoup de pavés à arêtes entières dont l’aire et le volume soient mesurés par le même nombre ?

Question n°9

Peut-on calculer l’intégrale $I_n$ sans calcul intégral ?

$I_n = \displaystyle \int\limits_{x=1}^{n} \mid{x-1}\mid + \mid{x-2}\mid + \, \cdots \, + \mid{x-n}\mid dx = \int\limits_{x=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \mid{x-k}\mid dx$

Question n°10

Peut-on construire un triangle connaissant son orthocentre et son centre de gravité ?

Quel est le volume exact du trou obtenu en traversant un cube d’arête 3 cm à l’aide d’une mèche de diamètre 1 cm, perpendiculairement aux faces, en leur centre ?

Énigme 1

Pouvez-vous joindre ces 9 points par une ligne brisée de 4 segments ?

Énigme 2

Saurez-vous remplacer les . par + ou – afin que l’égalité ci-dessous soit votre âge ?

Énigme 3

Voici le plan d’une maison :

Saurez-vous visiter toutes les pièces de cette bâtisse en passant une fois, et seule, par chacune des 16 portes ?

Énigme 4

Considérons 13579, 13597, 13759 ... 97531 tous les nombres de cinq chiffres que nous pouvons composer en utilisant une fois et une seule tous les chiffres impairs.

Quelle est la somme de tous ces nombres ?

Énigme 5

L’an dernier, mon père avait le double de mon âge.

Cette année, nos deux âges s’expriment par les deux mêmes chiffres, mais écrits dans un ordre différent.

Quels âges avons-nous ?

Énigme 6

Saurez-vous, en découpant le carré 10 × 10 en seulement deux morceaux et en y joignant le rectangle 8 × 1, former avec ces trois pièces un grand rectangle 12 × 9 ?

(Cette énigme est trop difficile pour des élèves de troisième).

Problème

Un nombre est dit remarquable s’il s’écrit avec des chiffres tous différents.
a) Calculer la somme des nombres remarquables inférieurs à 100.
b) Calculer la somme des nombres remarquables inférieurs à 1 000.
c) Quel est le plus grand nombre remarquable ?
d) Combien y a-t-il de nombres remarquables ?
e) Calculer la somme des nombres remarquables.

Les jeux de NIM se jouent à deux joueurs avec un tas de bâtonnets.

Jeu 1

Chaque joueur, à son tour, prend un ou deux bâtonnets.
Celui qui prend le dernier bâtonnet a gagné.
a) Jouez quelques parties.
b) Comment jouer pour gagner à tous les coups ?

Jeu 2

Chaque joueur, à son tour, prend un ou deux bâtonnets.
Celui qui prend le dernier bâtonnet a perdu.
a) Jouez quelques parties.
b) Comment jouer pour gagner à tous les coups ?

Jeu 3

Les bâtonnets sont répartis en deux tas.
Chaque joueur, à son tour, prend un ou plusieurs bâtonnets qui sont tous dans un même tas. Celui qui prend le dernier bâtonnet a gagné.
a) Jouez quelques parties.
b) Comment jouer pour gagner à tous les coups ?

Jeu 4

Les bâtonnets sont répartis en deux tas.
Chaque joueur, à son tour, prend un ou plusieurs bâtonnets qui sont tous dans un même tas. Celui qui prend le dernier bâtonnet a perdu.
a) Jouez quelques parties.
b) Comment jouer pour gagner à tous les coups ?

On recherche (tous) les nombres palindromes dont le carré et le carré du carré sont aussi palindromes (par exemple 11…)

Sur deux demi-droites de l’espace d’origine $A$ et $B$, Alice et Bob se déplacent en astronefs à la même vitesse constante en partant respectivement de $A$ et de $B$.

Existe-t-il une position $M$ pour Alice et $N$ pour Bob telles que $AM = MN = NB$ ?

Quel est le nombre minimum de carrés à côtés entiers nécessaires pour paver un rectangle de côtés $n$ et $m$ entiers ($n \lt m$).

Les rondes de cercles

Cet avis de recherche étant un peu long car détaillé, vous êtes invités à télécharger l’énoncé.

Soit un trapèze, dont les longueurs des bases sont $a$ et $b$, coupé en deux parties de même aire par un segment de longueur $c$ parallèle aux bases.

Peut-on avoir $a$, $b$ et $c$ entiers ?

Et puis peut-on le couper de la même façon par deux segments de longueur $c$ et $d$ avec $a$, $b$, $c$ et $d$ entiers ?

Et par $n$ segments… ?

Quel est le plus grand entier positif qui ne puisse pas s’écrire $15a+21b+35c$ avec $a$, $b$ et $c$ entiers positifs ?

Comment placer sur ce cube $ABCDEFGH$ le point $I$ (respectivement $J$ et $K$) sur l’arête $[AB]$ (respectivement $[CG]$ et $[EH]$) pour minimaliser :
 
a) le périmètre du triangle $IJK$ ?
 
b) l’aire de ce même triangle ?

Il s’agit de contempler ces 65 exemplaires du même ennéagone "crevette" ci- dessous, de déterminer ses côtés et ses angles et d’utiliser ces résultats pour trouver les pavages possibles du plan avec cette crevette… s’il en existe !

On considère un polygone régulier à $n$ côtés. Comment construire $n-1$ demi-droites qui partent d’un même sommet et partagent le polygone en $n$ parties d’aires égales.

Soit un triangle $ABC$ inscrit dans un cercle.
La bissectrice de l’angle $\widehat{A}$ coupe le cercle en $A_1$, celle de l’angle $\widehat{B}$ en $B_1$ et celle de l’angle $\widehat{C}$ en $C_1$.
On réitère sur le triangle ${A_1}{B_1}{C_1}$…
…on obtient une suite de triangles $({A_n}{B_n}{C_n})_{n \in \mathbb{N}^*}$ ayant comme forme limite un triangle… ? …équilatéral ?

NB : a-t-on le même phénomène avec les bissectrices extérieures ?

Sur les développements décimaux de quelques inverses…
$\dfrac{1}{9^2}=\dfrac{1}{81}=0,\overline{0\:1\:2\:3\:4\:5\:6\:7\:9}$
$\dfrac{1}{99^2}=\dfrac{1}{9 \, 801}=0,\overline{00\:01\:02 …\:97\:99}$
$\dfrac{1}{999^2}= \cdots$

Et ensuite ?

Celui qui, déjà, pourra fournir « un programme python » permettant d’écrire le développement de l’inverse de $ {\underbrace{(9 \, \cdots \cdots \cdots \, 9)}_{n \, chiffres \, 9}}^{\, 2}$, débité par tranches de $n$ chiffres, aura rendu un grand service à la cause de cette recherche.

Celui qui sera capable de donner l’expression de la période en fonction de $ n$ (avec la démonstration bien sûr) sera déclaré vainqueur… surtout s’il trouve des généralisations.

En l’an de grâce deux-mil-dix-neuf, avant le couronnement du virus, 2019 mathématiciens tenaient congrès.
Mathématiquement ils s’appelaient $M_1, M_2, \ldots M_ {2019}$.
N’étant pas tenus de garder les distances sociales, ils s’étaient serrés la main à la façon des mathématiciens c’est-à-dire que $M_1$ avait serré une main, $M_2$ deux, $M_3$ trois, …et $M_ {2018}$ deux-mille-dix-huit.
Mais combien $M_{2019}$ avait-il serré de mains ?

Soit $f$ une fonction continue sur $\left] 0 \, ; +\infty \right[$.
On pose, pour tout $x > 0$, $A(x) = \int_{\frac{1}{x}}^{x} f(t)dt$ .
Le problème est de déterminer les fonctions $f$ vérifiant, pour tout $x > 0$, $A(x) = 0$. La fonction nulle est bien sûr solution, mais il y en a aussi une infinité d’autres !

On pourrait même faire un jeu : vous me donnez une fonction quelconque, à votre goût, continue sur $\mathbb{R}$, mais pas paire, et je vous trouve grâce à elle, instantanément, une fonction $f$ non nulle solution au problème…

Voyez-vous comment ?

Déterminer l’ensemble des points du plan par lesquels passent deux droites perpendiculaires, l’une tangente et l’autre normale (en des points différents) à l’hyperbole $(H)$ d’équation $y = \dfrac{1}{x}$.

Problème ouvert : Cette courbe fait-elle partie des courbes historiques ?

Soit $ABCD$ un carré de longueur de côté 1.
Toutes les constructions suivantes se passent à l’intérieur de ce carré.

• On trace le demi-cercle $\mathscr{C_1}$ de diamètre $[AB]$.
• On trace le demi-cercle $\mathscr{C_2}$ passant par $C$, de centre $E$ appartenant à $[BC]$ et tangent extérieurement à $\mathscr{C_1}$.
• On trace le demi-cercle $\mathscr{C_3}$ passant par $D$, de centre $F$ appartenant à $[CD]$ et tangent extérieurement à $\mathscr{C_2}$.

1. Montrer qu’il existe un unique demi-cercle $\mathscr{C_4}$ à l’intérieur du carré, de centre $G$ appartenant à $[DA]$ et tangent extérieurement à la fois à $\mathscr{C_1}$ et à $\mathscr{C_3}$.
2. Calculer $AG$.

   

   Prolongements :

• 2 cercles tangents $\mathscr{C_5}$ et $\mathscr{C_6}$, d’une part aux cercles $\mathscr{C_1}$, $\mathscr{C_3}$ et $\mathscr{C_4}$ (est-ce possible ?), et d’autre part aux cercles $\mathscr{C_1}$, $\mathscr{C_2}$ et $\mathscr{C_3}$ (idem) ; ces 2 cercles $\mathscr{C_5}$ et $\mathscr{C_6}$ ont pour centres respectifs $O_5$ et $O_6$ : sont-ils alignés avec $E$ et $G$ ?
• et si on rajoute un cercle $\mathscr{C_7}$ tangent à $\mathscr{C_5}$, $\mathscr{C_6}$, $\mathscr{C_1}$ et $\mathscr{C_3}$ (est-ce d’ailleurs possible ?), son centre $O_7$ est-il aligné avec $F$ et $I$ ?

Considérons l’entier $N$ = 123 456 789 et posons $U_N$ = 123 456 789 + 12 345 678 + 1 234 567 + 123 456 + 12 345 + 1 234 + 123 + 12 + 1 = 137 174 205, obtenu en ajoutant tous les entiers composés à partir des chiffres de $N$ en retirant successivement les chiffres des unités de l’entier précédent.

On pose aussi $S_N$ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, qui est la somme des chiffres de $N$.

Il existe bien sûr une infinité de réels $p$ et $q$ tels que $U_N = pN + qS_N$,
mais il existe en particulier un couple $(p ; q)$, indépendant de $N$, pour lequel l’égalité $U_N = pN + qS_N$ est vraie pour tout entier positif $N$.

Sauriez-vous trouver un tel couple $(p \, { ;} \, q)$ ?

$ABCD$ est un rectangle. Le point $E$ est sur $[AB]$. $F$ est le point d’intersection de $[CE]$ et $[BD]$.

On définit ainsi cinq surfaces.

Si on note $x$ l’aire du triangle $BEF$, alors les aires des triangles $DEF$ et $CDF$ sont respectivement $x^3$ et $x^5$.

Par ailleurs, l’aire du triangle $ADE$ est 30.

Déterminer $x$, ainsi que l’aire du rectangle.

Question ouverte : les dimensions du rectangle sont-elles uniques ?

Calculer, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, $\sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{n^2(2n+2k+1)}{(n+k)^2(n+k+1)^2}$.

Soit $a$ et $b$ deux entiers.

a) Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
$(P_1)$   $a \equiv 1 \pmod 2$ et $b\equiv a \pmod 3$
$(P_2)$   $a+2b \equiv 3 \pmod 6$

b) Soit $n$ et $p$ deux entiers strictement supérieurs à 1 et premiers entre eux. Soit $c$ un entier. Montrer qu’il existe trois entiers relatifs $u$, $v$ et $w$ tels que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
$(P_1)$   $a \equiv c \pmod n$ et $b\equiv a \pmod p$
$(P_2)$   $ua+vb \equiv w \pmod {n \times p}$

c) Problème ouvert : Qu’en est-il lorsque $n$ et $p$ ne sont pas premiers entre eux ?

Avis n°1
Il s’agit d’observer la figure suivante et de donner la valeur exacte de la longueur du segment repéré par un point d’interrogation.

Avis n°2
À l’aide de la règle et du compas, trouver comment partager un disque en $n$ parts ($n$ étant un entier plus grand que 1) de même aire. Est-il possible de faire en sorte que les parts aient aussi le même périmètre ?

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$. Les bissectrices de ce triangle issues de $B$ et $C$ coupent respectivement $[AC]$ en $P$ et $[AB]$ en $Q$. Les perpendiculaires abaissées de $P$ et $Q$ sur $[BC]$ coupent $[BC]$ respectivement en $M$ et $N$.
Quelle est la mesure de l’angle $\widehat{MAN}$ ?

Verre qui roule n’amasse pas mousse…

Sonia a couché sur la table son verre de 25 cl, en forme de cône tronqué, et s’amuse à le faire rouler.
Le bord du verre décrit un cercle de 80 cm de diamètre après avoir effectué 10 tours sur lui-même.
Quelle est la hauteur du verre ?

1. Sauriez-vous résoudre le système suivant, système de 3 équations à 3 inconnues ?
   $\left\{\begin{array}{ccc} (x+y)^2(xy-128) + xy^2z &=& 0 \\ (y+z)^2(yz-81) + x^2yz &=& 0 \\ x^2-y^2+z^2 &=& 0 \end{array} \right.$
    
2. À quoi peut bien servir cette résolution ?
    

Un cercle est donné : il est assez simple de construire un triangle équilatéral inscrit, à l’aide du compas et de la règle ; la méthode de la rosace chère au cœur des écoliers saura vous guider.

Mais cette construction est-elle possible à l’aide de la règle seule ?

Question subsidiaire : la construction est possible à l’aide de la règle à bords parallèles (ce qui est le cas des règles vendues dans le commerce : leurs deux bords sont parallèles), saurez-vous la trouver ?

NB : on pourra explorer les situations selon que le centre du cercle est donné ou pas.

Soit $ABC$ un triangle et $O$ un point à l’intérieur d’icelui. Les segments $[OA]$, $[OB]$ et $[OC]$ ont pour longueurs respectives 3, 4 et 5. Quel est le périmètre du triangle ?

 
Pour la figure 1, il s’agit de proposer une construction à la règle et au compas et d’exprimer la distance entre les deux points $A$ et $B$ en fonction des rayons des cercles.

 
Pour la figure 2, nous vous demandons également une construction à la règle et au compas et de trouver le rapport entre les aires des 3 cercles.

 
Soit 2 carrés côte à côte, on trace 2 segments (voir la figure) et on obtient une zone hachurée.

Déterminer l’aire de cette surface hachurée.

Lu dans PLOT n°41 (décembre 1987, page 43) ce problème pour le cas $n$ = $3$. Et si on généralisait ?

Un triangle. Trois droites qui joignent les sommets aux points qui divisent les côtés dans le rapport $\dfrac{1}{n}$.
Que dire du triangle ainsi formé ?

Observez le tableau ci-dessous qui a été découpé en sous-matrices 2×2 : vous aurez sans doute reconnu un extrait du fameux triangle de Pascal modulo 2. Que peut-on dire de remarquable pour ce triangle de Pascal modulo 2 avec sa grille de lecture 2×2 ?

On peut aussi généraliser, toujours modulo 2 avec une grille de lecture 4×4 au lieu de 2×2, puis 8×8, etc (seulement des puissances de 2).

Observez les 2 figures ci-dessus : on part d’un coin de cube (figure 1), formé par un carré ABCD et une arête [AE] ; en faisant un pli avec [AC] on le déforme pour obtenir la figure 2. Les segments [AE], [AB], [AD] et [AC] jouent le rôle de charnières dans cette déformation : les points C et E s’éloignent tandis que les points B et D se rapprochent. À un moment de cette déformation, le segment [BD] coupe le segment [EC] : les points B, C, D et E sont coplanaires (figure 2).

L’arête du cube servant d’unité, pour la figure 2, calculez BD et CE, ainsi que les angles de cette pyramide de sommet A et de base BCDE.

Avis n°1
Dans un triangle de côtés $a$, $b$ et $c$, comparer $a^2+b^2+c^2$ et $ab+ac+bc$.

Avis n°2
Il s’agit de trouver des pentagones étoilés magiques (si cela est possible) : le pentagone étoilé classique et le pentagone de Petersen : comment placer les nombres entiers de 1 à 10 pour que ces pentagones soient magiques ?

La propriété « magique » est à définir et il y a sans doute plusieurs façons de la définir ; sans aller jusqu’à n’importe quoi sous prétexte que « c’est mâgique ».

Avis n°3
Rebondissement pour le PB n°1 (voir les Chantiers n°208) : soient $a$ et $b$ deux entiers naturels premiers entre eux et soit $S$ la partie stable de $(\mathbb{N},+)$ engendrée par $a$ et $b$.
Entre $0$ et $ab-(a+b)$, est-il vrai qu’il y a autant d’entiers qui sont dans $S$ et autant qui n’y sont pas ?