Une encyclopédie des centres du triangle

Géomètrophiles, si vous êtes passionné par la géométrie plane et les constructions géométriques j’aimerais vous faire partager un de mes sites préférés : en lisant un article de mathématique j’ai découvert le site Encyclopedia of Triangle Centers — ETC que je désignerai plus simplement par ETC.

Un de ses fondateurs est Clark Kimberling, professeur de mathématiques à l’université d’Evansville (États-Unis) qui héberge ce site collectionnant des points caractéristiques du triangle, ceux que nous connaissons comme l’orthocentre $H$, le centre de gravité $G$, les centres des cercles inscrit $I$ et circonscrit $O$… et bien d’autres. Mais oui, il y en a plus de 70 000 qui sont documentés !

Des points mais aussi des droites ; et il n’y a pas que les bissectrices, les médianes, les médiatrices, ou les hauteurs !

Généralement, trois droites quelconques n’ont aucune raison d’être concourantes, mais avez-vous remarqué que, dans le triangle, il se passe des choses à ce sujet ? Pour le triangle, les droites ont une forte tendance à être concourantes trois par trois.

De même, trois cercles quelconques n’ont aucune raison d’être concourants, mais dans le triangle, pour les cercles, comme pour les points ou les droites il se passe des choses…

Et pourquoi 4 points seraient-ils cocycliques ?

 

Découverte du site ETC

Pour simplifier, le triangle est nommé $ABC$, de côtés $a$, $b$, $c$ et, comme dans Geogebra, $a$, $b$, $c$ sont aussi les longueurs de ses côtés.

Les points, numérotés $X(1)$, $X(2)$, … , $X(n)$, dans le plan d’un triangle peuvent être repérés de 2 façons :

• coordonnées trilinéaires
  trilinéaires : distances du point aux côtés du triangle
• coordonnées barycentriques
  barycentriques : distances du point aux sommets du triangle.

Dans le tableau suivant, voici les différentes coordonnées pour les points classiques $I$, $G$, $H$, $O$ dans $ABC$ ; j’utilise le vocabulaire du site et vous trouverez en fin de cet article la correspondance avec l’usage français.

point	coordonnées trilinéaires $(x : y : z)$	coordonnées barycentriques $(ax : by : cz)$
$A$	$( 1 : 1 : 1 )$	$( 1 : 0 : 0 )$
$M_A$ milieu de $BC$	$( 0 : ca : ba )$	$( 0 : 1 : 1 )$
$X(1) = I$ incenter	$( 1 : 1 : 1 )$	$( a : b : c )$ = $( sin(A) : sin(B) : sin(C) )$
$X(2) = G$ centroid	$( bc : ca : ab )$ = $\left( \dfrac{1}{a} : \dfrac{1}{b} : \dfrac{1}{c} \right)$	$( 1 : 1 : 1 )$
$X(3)$ = $O$ circumcenter	$( cos(A) : cos(B) : cos(C) )$	$( acos(A) : bcos(B) : ccos(C) )$ = $( sin(2A) : sin(2B) : sin(2C) )$
$X(4) = H$ orthocenter	$\left( \dfrac{1}{cos(A)} : \dfrac{1}{cos(B)} : \dfrac{1}{cos(C)} \right)$	$\left( \dfrac{a}{cos(A)} : \dfrac{b}{cos(B)} : \dfrac{c}{cos(C)} \right)$ = $( tan(A) : tan(B) : tan(C) )$

Remarque : Dans Geogebra, sont à votre disposition les commandes Trilinéaire et Barycentre.

Je vous présente ci-dessous quelques points, droites et cercles que l’on peut découvrir ou retrouver dans ETC.

À noter que $BC$ peut désigner tout aussi bien la droite passant par $B$ et $C$, le segment d’extrémités $B$ et $C$ ou la distance entre $B$ et $C$ ; le contexte permet de comprendre de quoi il est question. Et un cercle peut être définit par 3 points différents de ce cercle ; par exemple « le cercle $ABC$ : c’est le cercle passant par les 3 points $A$, $B$ et $C$.

En annexe, vous trouverez un lexique français-anglais et quelques définitions usuelles telles que cévienne ou ménélienne. Le glossaire de Publimath peut aussi vous aider à retrouver une définition.

Le site Wolfram MathWorld est aussi une mine, je vous invite à le consulter.

D’autres références peuvent être consultées :

• le livre d’Yvonne et René Sortais
  La géométrie du triangle (1987 chez Hermann)
• le n°24 de la bibliothèque Tangente
  Le triangle — Trois points, c’est tout !
• la page Wikipedia sur le renouveau de la géométrie du triangle, notamment sa partie historique
  Géométrie moderne du triangle

 

Le point de Lemoine : $X(6)$

Une symédiane d’un triangle est une droite partant d’un sommet et symétrique de la médiane de ce sommet par rapport à la bissectrice de ce sommet (figure 1a).

La parallèle en $B$ à la tangente en $A$ au cercle circonscrit coupe $AC$ en $D$ et la $A$-symédiane en $P$, milieu de $BD$.

Les trois symédianes d’un triangle sont concourantes : leur intersection est le point de Lemoine $L_e$ = $X(6)$ (figure 1b).

 

Le point de Gergonne : $X(7)$

Dans un triangle, le point de Gergonne $G_e$ = $X(7)$ est le point de concours des trois céviennes (figure 2) qui aboutissent aux points de contact des côtés d’un triangle avec le cercle inscrit de centre $I$= $X(1)$.

 

Le point de Nagel : $X(8)$

Le point de Nagel $N_{ag}$ = $X(8)$ est le point de concours des trois céviennes qui aboutissent aux points de contact $Te_A$, $Te_B$, $Te_C$ des côtés d’un triangle avec les cercles exinscrits (figure 3).

 

Des cercles dans le triangle

Le cercle de Conway

Des points (4 ou plus) n’ont aucune raison d’être cocycliques ; et pourtant…

Quand on prolonge chaque côté du triangle, à partir de chaque sommet, d’une longueur égale à la longueur du côté opposé à ce sommet, les six extrémités $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$ (hexagone) sont cocycliques, sur un cercle concentrique au cercle inscrit de $ABC$ de centre $\Omega$ = $X(1)$ et les diagonales de l’hexagone sont isométriques (figure 4).

 

Le cercle de Miquel

Des cercles (3 ou plus) n’ont aucune raison d’être concourants, et pourtant…

Une ménélienne (voir figure 5) coupe les côtés de $ABC$ en 3 points $A’$, $B’$, $C’$ (oui, d’accord, il ne faut pas qu’elle soit parallèle à un côté). Les cercles $AB’C’$, $BA’C’$, $CA’B’$ sont concourants en $M_i$, le point de Miquel $X(501)$, associé à la ménélienne. Et les centres de ces cercles sont cocycliques avec $O$ = $X(3)$, centre du cercle circonscrit, et $M_i$ (le point de Miquel).

Cinq points cocycliques et cinq cercles concourants. Je vous disais bien qu’il se passe des choses pour un triangle !

 

Les cercles de Johnson

$H$, ou $X(4)$ pour les intimes, l’orthocentre de $ABC$, les 4 cercles $HBC$, $HAC$, $HAB$, (de centres respectivement $O_A$, $O_B$, $O_C$) et le cercle $O_AO_BO_C$ sont isométriques. $H$ est le centre de $O_AO_BO_C$ (figure 6).

Par l’homothétie $h$, de centre $H$ et de rapport 2, $h(O_AO_BO_C)$ = $A’B’C’$ qui est le triangle anti-complémentaire de $ABC$.

Soit $G$ le centre de gravité (ou $X(2)$). Les droites $AA’$, $BB’$, $CC’$ se coupent en $G$, ce sont des G-céviennes de $ABC$.

 

Annexe

Lexique français-anglais

Les mots utilisés dans ETC sont typiquement anglais et peuvent surprendre quand on découvre le site ETC. Voici quelques correspondances entre les termes français et anglais.

terme français	terme anglais	ETC
sommet	vertex
point	point
droite	line
côté	side
cercle inscrit	incircle
centre du cercle inscrit	incircle center	$X(1)$
centre de gravité	centroid	$X(2)$
cercle circonscrit	circumcircle
centre du cercle circonscrit	circumcircle center	$X(3)$
orthocentre	orthocenter	$X(4)$

 

Définitions

Si vous découvrez la géométrie du triangle, les définitions suivantes peuvent être utiles. Nous indiquons, lorsqu’elle est disponible, la définition que l’on peut trouver dans le glossaire de Publimath.
 

• cévienne
  Droite passant par un sommet.
  définition de Publimath
   

• ménélienne
  Droite coupant les 3 côtés.
  définition de Publimath
   

• conjugué isogonal
  • Si on trace les 3 céviennes d’un point $P$ dans le plan $ABC$ ($P$ peut être extérieur à $ABC$), puis les symétriques de ces 3 céviennes par rapport aux bissectrices intérieures (figure 7a), ces trois nouvelles droites sont concourantes, et leur point d’intersection $P’$ est le conjugué isogonal de $P$.
  • Les projections (orthogonales) $Q_a$, $Q_b$, $Q_c$, d’un point $Q$ sur les côtés $a$, $b$, $c$ (éventuellement prolongés) déterminent un cercle, le cercle podaire de $Q$ pour $ABC$ (figure 7b).
    Ce cercle recoupe les côtés en 3 points $Q’a$, $Q’b$, $Q’c$. Les perpendiculaires aux côtés à partir de ces 3 points sont concourantes, et leur point d’intersection $Q’$ est le conjugué isogonal de $Q$.

 

• conjugué isotomique
  • Les 3 céviennes d’un point $P$, dans le plan du triangle ABC, coupent les côtés en $P_A$, $P_B$, $P_C$. $P_AP_BP_C$ est le $P$-triangle cévian.
    Soient $M_A$, $M_B$, $M_C$ les milieux des côtés du triangle et $P’_A$, $P’_B$, $P’_C$ les symétriques de $P_A$, $P_B$, $P_C$, par rapport aux milieux.
    Les droites $AP’_A$, $BP’_B$, $CP’_C$ sont concourantes en $P’$ qui est le conjugué isotomique de $P$ par rapport à $ABC$.

    

 

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Les chantiers de pédagogie mathématique n°208 avril 2026
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