Le critère PEMDAS

Le critère PEMDAS [1] décrit les priorités des opérations figurant dans des expressions mathématiques contenant une chaîne d’opérations ; il indique donc l’ordre qu’elles doivent être exécutées. En autres termes, il dit qu’il faut d’abord « effectuer celles qui sont à l’intérieur des Parenthèses, suivis des Exposants, ensuite des Multiplications et des Divisions (de la gauche vers la droite) et, finalement des Additions et des Soustractions (de la gauche vers la droite) ».

Le but de cet article est de discuter « le pourquoi d’effectuer prioritairement la multiplication par rapport à l’addition ». Pour ce faire, il est important de bien lire une expression arithmétique, pour bien la comprendre. Or, normalement on lit une expression comme une lecture épelée dans une langue naturelle ; c’est-à-dire que l’on lit chaque symbole l’un après l’autre, sans forcément le souci d’en comprendre le sens. L’étude de la grammaire du langage mathématique permet de faire une lecture dite interprétée.

Le langage mathématique

Pour faire une lecture « interprétée », tout d’abord il faut faire une analyse des mots présents dans l’expression, pour enfin la comprendre. Par exemple, l’expression « $3n + 2$ » se lit normalement comme « trois ‘ène’ plus deux », une lecture épelée. Par contre, pour l’interpréter, il faut remarquer que « $3n$ » signifie « le triple d’un nombre naturel (inconnu) », « $+$ » représente l’opération d’addition dont le résultat est dénommé « somme » ; ainsi, « $3n + 2$ » signifie « la somme du triple d’un nombre naturel et deux ».

Comme quelques langues naturelles (portugais et français, par exemple), on trouve dans le langage mathématique des synonymes, c’est-à-dire, des mots (ou locutions) ayant le même sens. C’est le cas, par exemple, du nom d’une quantité (un nombre) et ses identificateurs. En autres termes, $18$ est le nom d’une quantité donnée, qui peut être identifiée de plusieurs façons, par exemple, $11 +7$, $3 × 6$, $36 ÷ 2$, $4 2 + 2$, entre autres. Chaque identificateur est « synonyme » du nom d’une quantité ; en revanche, les identificateurs entre eux ne sont pas synonymes car, par exemple $11 + 7$ est une somme tandis que $36 ÷ 2$ est un quotient. Par contre, comme toutes les expressions ci-dessus ont la « même valeur », elles sont dites « équivalentes ». On remarque que des mots synonymes sont également équivalents (car ils ont le même sens et, par conséquent, la même valeur). Il peut y avoir des identificateurs plus « complexes » ; une expression arithmétique est un identificateur d’une quantité. Par exemple, $4 + (2 × 7)$ est également un identificateur de $18$ ; la ponctuation met en évidence que $2 × 7$ est le deuxième terme de l’addition. De part la priorité de la multiplication sur l’addition, cette expression est synonyme de $4 + 2 × 7$, car toutes les deux ont le même sens, à savoir, « la somme de quatre et le produit de deux par sept ». On remarque que $4 + 2 × 7$ est plus claire (sans « bruit ») que $4 + (2 × 7)$.

La clarté d’un texte écrit est liée à sa cohérence et à sa cohésion. Plus précisément :

• La « cohérence » établit un lien logique entre les idées, assurant le sens du texte tout en rendant facile son interprétation. Autrement dit, un texte cohérent est celui dont la relation logique entre ses termes et leur complémentarité est bien aperçue ;

• La « cohésion », à son tour, établit la connexion entre les mots, phrases et idées ; ceux-ci doivent être bien placés de façon à guider les lecteurs dans la séquence des faits présentés. Parmi les outils permettant de construire un texte harmonieux, on trouve les remplacements lexicaux (ou la cohésion lexicale) qui déterminent le changement d’un terme par un autre (ou par une locution), à fin d’éviter des répétitions superflues.

Dans la suite, on va montrer en quoi la priorité de la multiplication sur l’addition permet d’écrire un texte plus clair ; mais avant on va faire des considérations sur ces opérations, et quelques-unes de leurs propriétés, sans tenir compte des priorités connues entre les opérations (celles décrites au PEMDAS), pour enfin aboutir à la clarté.

Les opérations d’addition et de multiplication

L’addition et la multiplication sont des opérations binaires, c’est-à-dire qu’elles possèdent deux opérandes ; une addition résulte en une somme, et une multiplication résulte en un produit. Par exemple, $11 + 7 = 18$ indique que « l’addition de onze et sept résulte en dix-huit » (ou, autrement dit, « la somme de onze et sept vaut dix-huit ») ; de même, $3 × 6 = 18$ indique que « multiplier trois par six résulte en dix-huit » (ou, autrement dit, « le produit de trois par six vaut dix-huit »).

Ces opérations vérifient certaines propriétés ; parmi elles, la commutativité et l’associativité. La commutativité de l’addition indique que l’ordre des termes ne change pas la somme. Par exemple, « la somme de $6$ et $5$ » équivaut à « la somme de $5$ et $6$ » ; en langage mathématique :

$$6 + 5 = 5 + 6.$$

L’associativité, à son tour, indique que dans une somme itérée, à plusieurs termes, on peut regrouper par deux des termes voisins, sans changement d’ordre entre eux. Par exemple, si l’on veut faire l’addition de $6$ et $5$, ensuite faire l’addition de la somme obtenue et $7$, on obtient le même résultat que si l’on fait l’addition de $6$ et la somme de $5$ et $7$ ; en langage mathématique :

$$(6 + 5) + 7 = 6 + (5 + 7).$$

Cette propriété assure que la valeur de la somme itérée $6 + 5 + 7$ est bien déterminée et qu’elle peut être calculer aussi bien par $(6 + 5) + 7$ comme par $6 + (5 + 7)$. On remarque que ces expressions sont toutes les trois des identificateurs de $18$ et que la somme itérée, pour ne pas avoir la ponctuation qui explicite les termes respectifs, permet une écriture plus claire (sans bruit). Ceci est d’autant plus intéressant lorsque l’on a une somme a plusieurs termes, comme par exemple, si l’on veut faire l’addition itérée de $4$, $5$, $6$, $7$ et $8$, dans cet ordre. De part le fait que l’addition est une opération binaire, on devrait l’écrire en langage mathématique, en principe, comme

$$(((4 + 5) + 6) + 7) + 8.$$

De plus, l’associativité nous assure qu’elle est équivalente à des expressions comme

$$4 + ((5 + 6) + (7 + 8))$$

$$(4 + (5 + 6)) + (7 + 8).$$

Cependant, on remarque que toutes ces expressions possèdent une certaine quantité de ponctuation, ce qui provoque un peu de bruit. Par l’associativité, elles (et d’autres associations de ces termes) sont équivalentes à la somme itérée qui est plus claire

$$4 + 5 + 6 + 7 + 8.$$

Et si l’on a une somme itérée de termes de même valeur ? Par exemple

$$3+3+3+3+3+3\, ?$$

Cela indique que l’on a « une somme de six termes, chacun de valeur égale à $3$ ». En d’autres termes, une somme dont la valeur $3$ est répétée six fois, ou « multipliée » (dans le sens français de ce mot) par six. Cette expression peut être réécrite sous la forme

$$3 × 6$$

$$3 × 6 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3,$$

Par conséquent, une expression générique

$$m × n = \underbrace{m + m + m + ⋯ + m}_{n \text{ fois}}$$

Comme il a été dit, la multiplication (ainsi que l’addition) vérifie la propriété commutative ; c’est-à-dire que, par exemple, multiplier $3$ par six équivaut à multiplier $6$ par trois, car ils résultent en une même valeur ; en langage mathématique :

$$3 × 6 = 6 × 3. $$

En d’autres termes, « le produit (résultat d’une multiplication) de $6$ par $3$ équivaut au produit de $3$ par $6$ ». On remarque que ce sont des représentations de sommes itérées différentes ; en effet, $3 × 6$ représente $3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3$, tandis que $6 × 3$ représente $6 + 6 + 6$. Ce sont donc des expressions équivalentes, pas synonymes.

De ce fait, si l’on regarde le produit résultant d’opérations de multiplication équivalentes, sans s’intéresser à identifier le multiplicande et le multiplicateur, ses opérandes sont alors dénommés « facteurs ».

Ainsi comme l’addition, la multiplication vérifie également la propriété associative. Par exemple, si l’on veut multiplier $2$ par $3$, ensuite multiplier le produit obtenu par $4$, on obtient le même résultat que si l’on calcule le produit de $2$ par le produit de $3$ par $4$ ; en langage mathématique

$$(2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) .$$

En d’autres termes, comme pour l’addition, cette propriété assure que la valeur du produit itéré $2 × 3 × 4$ équivaut aussi bien au produit $(2 × 3) × 4$ qu’au produit $2 × (3 × 4)$. Cependant, seule l’expression $(2 × 3) × 4$ peut être reproduite, de forme synonyme, comme une somme itérée. En effet, dans ce cas,

$$(2 × 3) × 4$$

$$(2 × 3) + (2 × 3) + (2 × 3) + (2 × 3)\, ;$$

Ainsi, on a l’équivalence

$$(2 × 3) × 4 = (2 + 2 + 2) + (2 + 2 + 2) + (2 + 2 + 2) + (2 + 2 + 2),$$

En revanche, l’expression $2 × (3 × 4)$ a comme multiplicande la valeur $2$ (celle qui sera itérée) et comme multiplicateur (le nombre de fois à répéter) la valeur identifiée par le produit de $3$ par $4$ ; il faut donc le calculer. Par conséquent, ce produit $(3 × 4)$, dans ce contexte, ne représente pas une somme itérée ; il tout simplement identifie une valeur.

Par la suite, on va considérer donc un produit itéré « uniquement » comme un identificateur d’un nombre (même si, en quelque sorte, il peut représenter « une somme itérée d’un certain nombre de termes de valeur égale à son premier facteur »).

La priorité d’exécution des opérations

On s’intéresse maintenant à des expressions contenant les deux opérations (l’addition et la multiplication) ; par exemple

$$3 + 8 × 4.$$

Dans un premier temps, il faudrait y avoir une ponctuation puisque, comme toutes les deux sont des opérations binaires, on doit identifier les opérandes de chaque opération. Ainsi, cette expression est-elle équivalente à $3 + (8 × 4)$ ou à $(3 + 8) × 4 $ ? Dans le premier cas, elle serait une « somme » qui est un identificateur de $35$, tandis que dans le deuxième, elle serait un « produit » qui est un identificateur de $44$ ; elles ne sont donc même pas équivalentes.

De plus, l’expression $3 + (8 × 4)$ peut être vue comme une somme de $3$ et la somme itérée de quatre termes de valeur $8$, qui par la propriété associative est équivalente à une somme itérée de cinq termes ; autrement dit

$$3 + (8 × 4) = 3 + (8 + 8 + 8 + 8) = 3 + 8 + 8 + 8 + 8\, ;$$

$$\begin{align*}(3 + 8) × 4 &= (3 + 8) + (3 + 8) + (3 + 8) + (3 + 8)\\ {} &= 3 + 8 + 3 + 8 + 3 + 8 + 3 + 8.\end{align*}$$

On remarque que $3 + 8 × 4$ est plus claire (sans bruit) que les deux autres. De plus, elle sera synonyme de $3 + (8 × 4)$, si la multiplication est prioritaire à l’addition ; de même, elle sera synonyme de $(3 + 8) × 4$, si l’addition est prioritaire à la multiplication.

On va évaluer trois cas de figure et vérifier quelle opération est celle qui, en étant prioritaire, décrit une somme itérée quelconque de façon la plus claire.

Premier cas, on considère la somme itérée

$$5 + 5 + 6 + 6 + 6,$$

$$(5 + 5) + (6 + 6 + 6),$$

$$(5 × 2) + (6 × 3).$$

Deuxième cas, on considère maintenant la somme itérée

$$3 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2$$

$$(3 + 2) + (3 + 2) + (3 + 2) + (3 + 2),$$

$$(3 + 2) × 4.$$

On remarque que, dans le premier cas, on trouve une somme où les valeurs répétées sont décrites par leur noms respectifs (c’est-à-dire, $5$ et $6$) ; en revanche, dans le deuxième cas, ce qui est répétée est une valeur décrite par l’un de ses identificateurs (c’est-à-dire, $3 + 2$, la somme de $3$ et $2$).

On considère maintenant une somme itérée où ces deux cas se présentent.

Troisième cas, on considère la somme itérée

$$2 + 3 + 4 + 3 + 4 + 3 + 4 + 5 + 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 9 + 6 + 7 + 6 + 7,$$

$$2 + ((3 + 4) + (3 + 4) + (3 + 4)) + (5 + 5 + 5 + 5) + (8 + 8) + 9 + ((6 + 7) + (6 + 7)),$$

En gardant le regroupement fait initialement, et en réécrivant les termes qui correspondent à des sommes (partielles) itérées sous la forme d’une multiplication, cette dernière expression est donc synonyme de

$$2 + ((3 + 4) × 3) + (5 × 4) + (8 × 2) + 9 + ((6 + 7) × 2) .$$

On remarque que dans des expressions de sommes itérées, écrites à l’aide de l’opération de multiplication, il peut y avoir une certaine quantité de ponctuation. En effet, ces ponctuations servent à séparer chaque valeur répétée de la somme itérée ; soient ces valeurs données par leur nom (comme $5$ et $8$) ou par un identificateur (comme $3 + 4$ et $6 + 7$).

On se demande si ces expressions peuvent être « simplifiées », de façon à être plus claires (c’est-à-dire, sans beaucoup de bruit). Autrement dit, est-ce possible d’enlever quelques ponctuations, tout en gardant la cohérence de l’expression (on rappelle qu’ « un texte cohérent est celui dont la relation logique entre ses termes et leur complémentarité est bien aperçue ») ?

On va analyser chaque cas de figure présenté ci-dessus.

Dans le premier cas, $ (5 × 2) + (6 × 3)$, la ponctuation ne peut être supprimée que si la multiplication est l’opération prioritaire. En effet, dans ce cas $5 × 2 + 6 × 3$ est synonyme de $(5 × 2) + (6 × 3)$. En revanche, si l’on considère l’addition prioritaire, $5 × 2 + 6 × 3$ serait synonyme de $5 × (2 + 6) × 3$, qui est équivalent à $5 × 8 × 3$. Cette dernière à son tour représente un produit itéré de trois facteurs ; de plus, elle ne peut pas représenter une somme itérée équivalente, par l’associativité, à l’expression originale.

Dans le deuxième cas, $(3 + 2) × 4$, la ponctuation ne peut être supprimée que si l’addition est l’opération prioritaire. En effet, dans ce cas $3 + 2 × 4$ est synonyme de $(3 + 2) × 4$. En revanche, si l’on considère la multiplication prioritaire, $3 + 2 × 4$ serait synonyme de $3 + (2 × 4)$, qui représente la somme itérée $3 + 2 + 2 + 2 + 2$ ; cette dernière, différente de l’expression originale (vu qu’il lui manque trois termes de valeur $3$).

Dans le troisième cas,

$$2 + ((3 + 4) × 3) + (5 × 4) + (8 × 2) + 9 + ((6 + 7) × 2),$$

Cette expression est donc, dans ce cas, synonyme de

$$2 + (3 + 4) × 3 + 5 × 4 + 8 × 2 + 9 + (6 + 7) × 2 .$$

En revanche, si l’on considère l’« addition » prioritaire, on ne peut supprimer que les parenthèses « intérieures » des termes qui se trouvent dans le deuxième cas, c’est-à-dire, les termes $((3 + 4) × 3)$ et $((6 + 7) × 2)$. En effet, de part la priorité de l’addition admise, on doit garder les ponctuations qui servent à séparer chaque valeur répétée de la somme itérée original. Cette expression est donc, dans ce cas, synonyme de

$$2 + (3 + 4 × 3) + (5 × 4) + (8 × 2) + 9 + (6 + 7 × 2) .$$

On remarque que l’expression considérant la multiplication prioritaire est la plus claire, c’est-à-dire ayant moins de bruit.

En résumé, en analysant les cas de figure présentés (c’est-à-dire « somme itérée ayant les valeurs répétées décrites par leurs noms », « somme itérée ayant une valeur répétée, décrite par des identificateurs (une somme) », « somme itérée ayant les valeurs répétées décrites par leurs noms ou par des identificateurs (une somme) »), l’addition prioritaire est la forme la plus claire seulement dans le deuxième cas, c’est-à-dire le cas où on a une seule valeur répétée, décrite par un identificateur (somme). Autrement dit, en $\frac{2}{3}$ de ces trois cas, la multiplication prioritaire est la forme la plus claire. De plus, on remarque que lorsque l’on a une somme itérée où le deuxième cas apparaît plus d’une fois (c’est-à-dire au moins deux valeurs qui se répètent et qui sont décrites par l’un de ses identificateurs), l’addition prioritaire est aussi claire que la multiplication prioritaire.

En effet, on considère par exemple

$$3 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 5 + 8 + 5 + 8,$$

ou, de façon équivalente

$$((3 + 2) + (3 + 2) + (3 + 2) + (3 + 2)) + ((5 + 8) + (5 + 8)),$$

qui est synonyme de

$$((3 + 2) × 4) + ((5 + 8) × 2).$$

Dans ce cas, pour chacun des deux termes de l’addition (qui se trouvent dans le deuxième cas), on ne peut supprimer la ponctuation que si l’« addition » est prioritaire ; cela veut dire que, dans ce cas, « seules » les parenthèses « intérieures » peuvent être supprimées. Cette expression est donc équivalente à

$$(3 + 2 × 4) + (5 + 8 × 2),$$

En revanche, si l’on analyse la somme itérée, décrite sous sa forme plus compacte, c’est-à-dire $((3 + 2) × 4) + ((5 + 8) × 2)$, et si l’on considère la « multiplication » prioritaire, « seules » les parenthèses « extérieures » de chaque terme peuvent être supprimées.

Ainsi, dans ce cas, cette expression est équivalente à

$$(3 + 2) × 4 + (5 + 8) × 2,$$

Considérations finales

Toujours dans le souci d’étudier le Langage Mathématique comme véritablement un langage, on a cherché un argument dans la Linguistique pour comprendre le pourquoi d’établir la multiplication comme une opération prioritaire, par rapport à l’addition, lorsque ces deux opérations figurent dans une expression arithmétique. Or, on a observé initialement qu’une ponctuation est nécessaire pour enlever l’ambiguïté provoquée par la présence de ces deux opérations dans une même expression.

En revanche, la présence d’un grand nombre de ces ponctuations provoque un certain bruit à l’expression. On a trouvé dans la Linguistique des moyens d’écrire des textes plus clairs (sans bruit) ; la cohésion lexicale en est un. Des changements de termes, afin d’éviter des répétitions superflues, est un outil qui permet la cohésion lexicale. De plus, l’un des sens de la multiplication est de décrire une somme itérée d’une même valeur répétée plusieurs fois. Et lorsque cette valeur n’est pas décrite par son nom (un nombre), une ponctuation se fait nécessaire pour identifier, dans la somme itérée, l’expression qui décrit cette valeur (un de ses identificateurs).

De ce fait, il est « presque naturel » qu’une expression écrite en considérant la multiplication comme prioritaire, corresponde à l’écriture la plus compacte la plus claire d’une somme itérée où quelques termes sont décrits comme « somme de certains autres termes » (comme on a vérifié dans notre analyse). En effet, dans une multiplication, dans le contexte décrit, le premier facteur (le multiplicande) représente la valeur à répéter, et le second (le multiplicateur) le nombre de fois à répéter ; ainsi, $a × m$ (ou $(a + b) × m$, ou encore $(a + b + c) × m$) représente « la somme de $m$ termes, chacun de valeur égale à $a$ (ou égale à la somme de $a$ et $b$, ou encore égale à la somme itérée de $a$, $b$ et $c$, respectivement).

De ce fait, l’expression

$$3+2+3+2+3+2+3+2+6+6+6+6+6+8+7+8+7$$

En écrivant sous la forme plus compacte, on a :

• un premier terme qui répresente « la somme de trois et deux, multipliée par quatre » ;
  en langage mathématique : $(3 + 2) × 4$ ;

• un deuxième terme qui représente « la valeur six, multipliée par cinq » ;
  en langage mathématique : $6 × 5$ ;

• un troisième (et dernier) terme qui représente « la somme de huit et sept, multiplié par deux » ;
  en langage mathématique : $(8 + 7) × 2$.

Ainsi, l’expression originale peut être écrite comme

$$\underbrace{(3 + 2) × 4}_{\text{premier terme}} \quad + \underbrace{6×5}_{\text{deuxième terme}} + \quad \underbrace{(8 + 7) × 2}_{\text{troisième terme}}.$$

On a identifié un seul cas (très particulier) où l’addition comme opération prioritaire figure comme la forme la plus claire de représenter une somme itérée ayant un terme répété.

On remarque que l’on a considéré le multiplicateur (principalement) comme étant un nombre naturel (puisqu’il indique le nombre de fois à répéter un certain terme), en considérant que c’est le contexte du premier contact avec les opérations arithmétiques. Ceci-dit, ce critère est étendu à des expressions contenant tout autre ensemble de nombres (rationnels, réels, etc.).