Un souci initial

Ma progression de 3e en arithmétique est des plus classiques : rappels sur les diviseurs, recherche de tous les diviseurs d’un nombre, définition du PGCD et recherche à partir de listes de diviseurs. Enfin algorithmes de recherche par soustractions ou divisions successives et mise en œuvre de ces algorithmes sur tableur.

J’avais l’impression, au moment où je montrais l’algorithme aux élèves, de quelque chose de très artificiel. Je balançais une méthode. Les élèves voulaient bien me croire (d’autant que ça marchait, et que ça leur plaisait bien, en général). Mais ils n’avaient aucun moyen de comprendre d’où cela pouvait sortir. J’étais mal à l’aise.

Un article dans PLOT

Et puis, je suis tombée sur un article de PLOT 3, d’Anne-Marie Cavalier, qui suggérait une approche géométrique.

L’activité de découverte proposée est une sorte de défi : paver des rectangles (de dimensions entières données) en utilisant uniquement des carrés, et le moins de carrés possibles. Ce qui amène naturellement à essayer les carrés les plus grands possible.

Après deux exemples traités collectivement et plusieurs autres individuellement, le lien avec le PGCD arrive tout seul. Le côté du dernier carré intervenant dans le pavage est le PGCD des deux dimensions du rectangle. Et comme les algorithmes d’Euclide sont la stricte traduction du travail géométrique effectué, on peut les présenter juste après, sans mauvaise conscience cette fois-ci : tout le monde comprend d’où sort cette histoire de divisions successives.

Pourquoi j’aime bien cette activité

• pour son côté ludique, auquel les élèves adhèrent facilement
• parce qu’elle établit un lien entre domaine géométrique et domaine numérique, Et un lien historique, qui plus est. C’est bien ainsi qu’Euclide et ses contemporains voyaient les choses…
• parce qu’elle est emblématique d’une démarche mathématique. On part d’un problème, on le résout au cas par cas, on oublie le cadre géométrique pour ne garder que l’idée qui est à l’origine de la méthode. On oublie cette histoire de rectangle et on en garde ce qu’elle a apporté (en principe…)
• parce que le cadre géométrique éclaire bien les deux méthodes, par soustractions ou par divisions et montre bien que l’une est juste un raccourci de l’autre
• et surtout parce que rarement le lien est aussi direct entre l’activité de l’élève et le contenu qu’on souhaite institutionnaliser

Les échanges avec les collègues présents qui ont suivi furent intéressants. En particulier parce que Stéphanie, avec cette même activité, s’était trouvée devant une difficulté imprévue : ses élèves ont eu du mal à se détacher du cadre géométrique, ils avaient tendance à revenir à la situation du rectangle dès qu’ils étaient face à une recherche de PGCD. Difficulté que je n‘avais pas moi-même rencontrée. Différence à attribuer probablement au fait que, pour mes élèves, le PGCD préexistait au découpage de rectangles, alors que chez Stéphanie l’activité faisait découvrir la notion. Les élèves avaient alors du mal à s’affranchir de la conception initiale : le PGCD c’est le côté du plus petit des carrés paveurs. Comme quoi, vous changez une petite variable didactique…