Un travail autour des intentions de l’exposition

Cet article fait suite à la présentation de la journée 2021 de la régionale APMEP, un samedi de fin novembre dans les locaux de l’IHP [1]. J’ai, en effet, été invité, en tant que membre du comité scientifique de l’exposition « Borel un mathématicien pluriel » et organisateur d’une formation continue associée à l’exposition, à faire découvrir quelques aspects de l’exposition aux collègues réunis.

Les points de vue qui ont été proposés pour découvrir l’exposition sont déjà évoqués dans l’article précité, et je n’ai pas la prétention dans ce court article complémentaire, de résumer « virtuellement » l’exposition. À l’heure où j’écris ces lignes l’exposition est déjà close depuis un mois et n’est donc plus visible. Cela ne veut pas dire néanmoins qu’elle ne soit plus accessible ni exploitable, j’explique ici pourquoi en détail, en mettant en rapport les principales intentions des organisateurs de l’exposition avec ces possibilités de tirer parti concrètement de l’exposition, en suggérant des pistes de réflexions utiles ou d’activités à vocation mathématique et culturelle. Je m’inspire pour cela des riches échanges que nous avons pu avoir ce jour-là avec les collègues de la Régionale, avec les collègues rencontrés lors de la formation continue (ces derniers travaillent déjà à des exploitations variées de l’exposition), ou encore avec les collègues de l’IHP qui ont accueilli et valorisé l’exposition.

Une exposition empruntable

La fin de l’échange avec les collègues de l’APMEP a permis de discuter un point bien mis en évidence par ma collègue Marie-France Rossignol dans un intéressant article que j’ai proposé aux stagiaires (Oursin et Rossignol, 2008) : à savoir qu’une activité culturelle (exposition ou autre) ne constitue pas un cours et n’est pas faite pour être comprise « seule », pas plus qu’une visite dans un musée ne prend sens si le spectateur n’est pas conduit à s’y investir. Au mieux, c’est une amorce de quelque chose et il faut donc à la fois du matériel additionnel (des textes ou artefacts et des activités qui leur donne vie) et une démarche qui fasse sens pour les enseignants et les élèves qui s’en emparent.

La bonne nouvelle concernant « l’effet d’amorce » est que l’exposition elle-même n’est donc pas morte : elle reste empruntable par les collègues qui le désirent et qui peuvent pour cela contacter l’IHP. C’est du reste le cas pour d’autres expositions passées, comme celles sur Jean Perrin, qui touche davantage à l’histoire de la physique moderne mais dont bien des thèmes croisent ceux de l’expo Borel. La raison de cette proximité illustre à sa manière une des intentions majeures de l’exposition : montrer l’attention très profonde et soutenue que portait Borel aux travaux des physiciens de son temps : outre Perrin, on peut citer Langevin dont Borel avait suivi les travaux au collège de France. L’une des commissaires de l’exposition, Martha Cecilia Bustamante, a ainsi publié un bel ouvrage montrant et analysant les carnets de Borel « apprenti de Langevin » (2019).

On pourra voir, à titre d’exemple (image ci-dessus), une page intéressante où Borel a noté une réflexion suggestive de Langevin, sur le succès « trop grand » des théories physiques qui contraste avec leur contenu mathématiquement difficile, mais qui permet de comprendre la vraie portée de ces succès. Elles sont ainsi analogues, dit Langevin rapporté par Borel, « aux classiques devinettes arithmétiques », de celles que bien des collègues de collège utilisent toujours pour dédramatiser la démarche algébrique : « Pensez un nombre, ajoutez 5, doublez, retrancher 10, etc. » Borel était friand de ces comparaisons simples mais qui font réfléchir à la portée des mathématiques.

On rejoint ici l’un des enjeux des expositions de l’IHP, celle sur Borel et d’autres : montrer les liens intrinsèques existant pour Borel entre les mathématiques et le réel, celui de l’industrie, de la politique, mais aussi celui des sciences de son temps, physique et biologie notamment, mais aussi psychologie ou économie.

Des possibilités de visite, en lien à un enjeu culturel et historique

Une autre intention majeure de l’exposition était de montrer que Borel a eu une action politique et institutionnelle majeure. Cette action est d’abord illustrée par l’existence même de l’IHP, dont le fonctionnement actuel illustre et prolonge les intentions du fondateur. L’institut associe en effet une bibliothèque (accessible au public), un centre de recherche, et désormais une « maison Poincaré », dont l’ouverture est imminente et qui permettra de valoriser de diverses manières la pratique des mathématiques, leurs enjeux et ceux ou celles qui font vivre ce domaine.

L’idée en cours de gestation est donc de valoriser le patrimoine historico-culturel de l’IHP, y compris ses expositions, dans le cadre de cette future maison. Les IREMs et l’APMEP seront étroitement associés à cet effort pour construire un lien avec l’enseignement et la valorisation des mathématiques.

L’esprit d’offrir un lieu de recherche et d’interaction pour de jeunes scientifiques, hommes et femmes, est toujours bien vivant et palpable à l’institut et est conforme à la pensée des fondateurs. Elle offre au public, et notamment aux élèves, l’occasion de découvrir les mathématiques en train de se faire, participant ainsi à leur orientation. À titre d’exemple, on voit sur la photographie ci-dessus une pause dans une rencontre récente (du 21 au 25 mars 2021) associant mathématiciens et biologistes autour de questions touchant à l’écologie et l’évolution.

On rejoint par là un enjeu majeur de l’exposition Borel : le sous-titre « un mathématicien pluriel », indique qu’on n’entend pas parler simplement d’un mathématicien particulièrement célèbre et talentueux. Il était certainement brillant et innovant et n’est à vrai dire célèbre, le plus souvent, que pour ceux et celles d’entre nous qui ont fait assez de mathématiques pour apprécier la théorie de la mesure de Borel-Lebesgue ou la théorie des probabilités dénombrables qui est un de ses apports. Mais surtout, il fait partie d’un vaste collectif de mathématiciens, d’hommes et de femmes de sciences qui, au début du vingtième siècle, ont bouleversé la vision et la pratique des sciences, ainsi que leur inscription institutionnelle. Prendre conscience du caractère à la fois collectif et « pluriel », ainsi que matériel et financier, du développement d’une discipline comme les mathématiques, est certainement un enjeu fort qui nous concerne encore. Il reste pleinement d’actualité, à titre d’exemple, si on regarde les débats parlementaires récents concernant le recul de l’enseignement général des mathématiques. Borel est un des acteurs majeurs de cette bataille politique et institutionnelle, qui se prolonge encore aujourd’hui.
 

Ainsi, certains des collègues qui ont participé à la formation continue associée à l’exposition s’emploient justement, avec l’aide des formateurs, à concevoir un matériel pédagogique adapté à la configuration très particulière de l’IHP. À titre d’exemple, des collègues ont réfléchi à un parcours pédagogique de visite, sur le principe d’un jeu de piste réflexif, incluant l’exposition mais dépassant le cadre de cette dernière. L’histoire de l’IHP s’inscrit dans le cadre plus large d’une visite des différents lieux marquant le développement de la recherche physico-mathématique dans l’entre deux guerres. La photographie ci-dessus, aimablement envoyé par l’un des stagiaires (Jimmy Moinet, lycée Edouard Branly, Créteil), montre quelques uns de ses élèves en pleine réflexion devant les panneaux consacrés aux « problèmes que s’est posé Émile Borel » et plus particulièrement ceux qui ont un rapport avec la logique et la théorie des ensemble (panneau de droite) ou avec la physique moderne (panneau du centre).

Des possibilités de lectures qui interrogent l’histoire de l’analyse dans l’enseignement secondaire

Comme exemple de prolongement possible à l’exposition à partir d’un matériel additionnel facilement accessible, citons un dernier exemple qui a été largement discuté avec les collègues de la régionale. Plusieurs se sont enthousiasmés pour un ouvrage marquant de Borel, qu’on peut du reste lire en ligne facilement : son traité d’Algèbre pour le premier et second cycle daté de 1903. Ce manuel pionnier illustre à la fois un nouvel aspect de la carrière du mathématicien, et une nouvelle direction de valorisation possible de l’exposition : il s’agit de l’effort impressionnant développé par le mathématicien, sa vie durant, pour promouvoir les mathématiques comme élément de culture générale, aussi bien dans leur nature et leurs enjeux que dans les liens aux autres sciences, non seulement au niveau du public cultivé que des élèves de l’enseignement primaire et secondaire.

On le compte ainsi parmi les figures marquantes de la réforme dite de 1902, qui a transformé radicalement l’enseignement des sciences et a « anobli » les mathématiques au rang de discipline d’enseignement général à part entière (Gispert 2011). L’intéressante double préface de l’Algèbre témoigne bien de cet effort à la fois politique, éducatif et philosophique qui vise à valoriser la valeur pratique et « moderne » des mathématiques.

PRÉFACE DE L’ALGÈBRE

(Premier cycle)

En écrivant ce livre, mon but principal a été d’intéresser les élèves ; je ne crois pas que le meilleur moyen de les initier aux sciences mathématiques soit d’insister sur les côtés les plus abstraits de ces sciences, de manière à les présenter comme complètement en dehors et au-dessus de la réalité. Quel que puisse être l’intérêt — que je suis loin de contester — de la spéculation pure, il n’est pas douteux que c’est l’observation des faits les plus usuels et les nécessités de la vie pratique qui ont été l’origine de toutes les sciences. À méconnaître cette origine, on s’expose à dégoûter un grand nombre d’excellents esprits, auxquels la science apparaît comme une chose mystérieuse, complètement à part de la vie, alors qu’elle s’y mêle chaque jour.

C’est cette liaison intime entre les formules de l’Algèbre et la réalité journalière que j’ai cherché à mettre en évidence le plus possible, soit dans la théorie, soit dans les exemples, problèmes et exercices ; je n’ai pas craint de multiplier les applications, de manière que la théorie apparaisse comme intuitive, et non comme une construction arbitraire de l’esprit ; la définition des nombres négatifs, les règles de la multiplication des nombres positifs et négatifs, la mise en équations des problèmes, la représentation graphique des fonctions, et en particulier de la fonction linéaire, sont illustrées de nombreux exemples concrets. J’ai, de mème, insisté beaucoup. à diverses reprises, sur le choix des unités, dans les problèmes et les formules.

Les nouveaux programmes prévoient qu’un certain nombre d’élèves terminent leurs études secondaires avec le premier cycle ; ils doivent avoir acquis les connaissances pratiques indispensables aux applications usuelles au commerce et à l’industrie : j’espère qu’ils les trouveront ici, en ce qui concerne l’Algèbre.

En même temps, je n’ai négligé aucune occasion d’introduire, toutes les fois qu’on pouvait le faire sans allonger ni compliquer, les notions et les formes de raisonnement dont la connaissance simplifiera la tâche ultérieure de ceux qui pousseront plus loin l’étude de l’Algèbre.

En résumé, j’ai tâché, sans abandonner jamais la rigueur nécessaire, d’être aussi simple et pratique que possible. Je crois avoir été ainsi fidèle à l’esprit des nouveaux programmes qui, s’ils sont appliqués avec les idées de réforme qui ont présidé à leur élaboration, peuvent être l’origine d’une ère nouvelle pour notre enseignement secondaire.

Émile Borel
Paris, 25 mars 1903.

Algèbre second cycle Cours de mathématiques
Première préface de la 2^e édition 1904
Éditeur Armand Colin

Ce point doit être lu en parallèle de l’intéressant contenu de l’ouvrage lui-même, notamment les premières pages où Borel introduit le calcul littéral, à la manière d’Alexis Clairaut (Éléments d’Algèbre, 1746) comme un moyen d’abréger des formules générales qu’on pourrait dire en mots pour résoudre une classe de problèmes. On peut encore citer le cinquième chapitre où, dans l’esprit des programmes d’alors, on introduit au sujet du monôme $y = ax + b$ la notion de fonction et surtout de représentation graphique d’une fonction, à partir d’un exemple pratique.

Je me suis moi-même appuyé sur ces textes en formation initiale des enseignants, pour les faire réfléchir à la délicatesse de la notion de représentation graphique et des multiples implicites qui se cachent derrière la mise en correspondance d’une formule algébrique, avec la fonction sous-jacente ou le graphe qui la représente (sur la figure ci-contre, tirée du chapitre 5, il explique la notion de graphe à partir de l’exemple d’un relevé de températures, soit manuel, soit enregistré par un instrument).

Cette approche illustre l’importance qu’il accorde à la mise en relation de la vie pratique avec les notions les plus abstraites comme celles de coordonnées cartésiennes, qu’il introduit ensuite.

Borel et les racines politiques et idéologiques de l’enseignement des probabilités

L’article de Matthias Cléry, dans ce même numéro des Chantiers, résume l’apport fondamental de Borel dans le domaine des probabilités et de leur enseignement supérieur. Mais dès 1906 et en lien avec ses engagements politiques radicaux socialistes, qui le rapprochent des milieux solidaristes, il défend l’idée qu’un enseignement des probabilités et des statistiques devrait être intégré dans l’enseignement secondaire, comme l’illustre l’extrait ci-dessous d’un article important qu’il publie dans la Revue du Mois dont il était l’éditeur, Le Calcul des probabilités et la mentalité individualiste.

… le calcul des probabilités est la base de ce que l’on peut appeler les mathématiques sociales. Son étude nous rappelle en effet que nous vivons en société et que les phénomènes sociaux ont une existence réelle et un intérêt propre. (…) Telle maladie fait, en moyenne, un certain nombre de victimes ; la grêle ou les inondations font, en moyenne, un certain chiffre de dégâts ; on ne sait pourquoi les uns sont atteints et les autres épargnés, mais la société, dans son ensemble, subit un dommage à peu près constant. L’étude de ces faits ne peut que contribuer à développer la notion de la solidarité, à rappeler à chacun qu’il ne doit pas se considérer comme indépendant du milieu où il vit et qu’il doit participer à la réparation des dommages fortuits qui atteignent son voisin et auraient pu l’atteindre lui-même. Aussi l’étude du calcul des probabilités a-t-elle une très grande valeur éducative ; on devrait souhaiter qu’elle pût être mise à la portée de tous ceux qui prétendent à une part dans la direction des hommes et des choses.

Émile Borel, extrait de l’article « Le calcul des probabilités et la mentalité individualiste », Revue du Mois, déc. 1908

Pour en savoir plus sur cet article, on peut consulter mon article en ligne sur le sujet (Bernard 2018) ou bien plus généralement l’article de Laurent Mazliak (2015) sur la question du rapport entre mathématiques et citoyenneté pour Borel, en lien à une question qui reste aujourd’hui, là encore, pleinement d’actualité.

Une exposition en devenir ?

Les quelques exemples donnés ici illustrent les fortes potentialités de l’œuvre de Borel pour faire réfléchir collègues et élèves à des questions qui restent pleinement d’actualité, soit parce que ce sont des contenus d’enseignement qui nous sont devenus familiers, ou parce que les thématiques éducatives sous-jacentes, notamment les mathématiques dans l’éducation à la citoyenneté, sont toujours à l’ordre du jour.

Si l’exposition reste réutilisable, pour les raisons indiquées, il reste à y associer des « kits pédagogiques » qu’on pourrait étudier en lien à l’exposition et qui permettraient de la valoriser. La formation continue à laquelle j’ai fait allusion, devrait nous permettre d’en étudier les premières versions. Avec la mise en place de la Maison Poincaré, on peut espérer que ce type de matériel soit progressivement élaboré et intégré à cet espace. Affaire à suivre…

Bibliographie

• Bernard, A. (2018). Émile Borel (1908) : le calcul des probabilités et la mentalité individualiste. Cahiers philosophiques 2018/4 (155), 81-95, Paris : Vrin.
• Bustamante, M.-C. (2019) À l’aube de la théorie des quanta. Notes inédites d’Émile Borel sur un cours de Paul Langevin au Collège de France (1912-1913). Turnhout : Brepols.
• Cléry, M. (2022) Émile Borel : un mathématicien du hasard. Organiser la recherche et l’enseignement probabilistes. APMEP - Chantiers de Pédagogie Mathématique.
• Gispert, H. (2011) Enseignement, mathématiques et modernité au XX^e siècle : réformes, acteurs et rhétoriques. Bulletin APMEP 494.
• Mazliak, L. (2015). Les mathématiques du hasard,, outil de l’expérience citoyenne. In É. Barbin & J.-P. Cléro (Eds.), Les mathématiques et l’expérience : Ce qu’en ont dit les philosophes et les mathématiciens. Paris : Hermann. 281–298.
• Oursin, C et Rossignol, M.-F. (2008) Du prêt à porter au cousu main, in Le partenariat dans tous ses états, les Cahiers « innover et réussir » 14. Créteil : CRDP. 177-185.